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玄貓（BlackCat）

RSA加密演算法與金鑰管理實作技術

本文探討RSA加密演算法的數學原理、實作細節及金鑰管理，包含加密、解密的程式碼範例，以及金鑰檔案的讀取與管理方法。同時，也解釋了RSA演算法的安全性基礎，說明為何現有破解方法難以攻破，並提供程式碼範例說明如何尋找大數的因數。最後，文章強調了不應自行撰寫加密程式碼的重要性，並鼓勵讀者持續學習密碼學知識。

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RSA 加密 解密 金鑰管理 Python 公開金鑰加密

RSA加密演算法是一種非對稱加密演算法，廣泛應用於資料安全傳輸。它使用一對金鑰：公鑰用於加密，私鑰用於解密。RSA的安全性根據大數質因數分解的難度，即使知道公鑰和加密演算法，在沒有私鑰的情況下，也很難解密密鑰。在實作上，金鑰的產生、儲存和管理至關重要，需要遵循安全規範，避免金鑰洩露。Python程式語言提供相關函式庫，方便開發者進行RSA加密和解密操作，並能有效處理金鑰檔案的讀取和寫入。理解RSA演算法的數學原理和實作細節，有助於開發者更好地應用RSA技術，保障資料安全。

RSA 公鑰密碼學與加密過程詳解

RSA 加密演算法是一種廣泛使用的公鑰密碼學技術，涉及金鑰生成、加密和解密三個主要過程。本章節將探討 RSA 加密的數學原理、實作細節以及金鑰管理的關鍵要素。

加密數學原理

RSA 加密的核心數學運算相對簡單，主要涉及模冪運算（modular exponentiation）。在加密過程中，明文區塊（plaintext block）會被轉換為一個大整數，然後進行以下運算：

密鑰 = 明文 ^ e mod n

其中，e 是公鑰指數，n 是模數。解密過程則使用私鑰指數 d 進行類別似的運算：

明文 = 密鑰 ^ d mod n

程式碼範例：加密與解密實作

def encryptMessage(message, key, blockSize):
    n, e = key
    encryptedBlocks = []
    for block in getBlocksFromText(message, blockSize):
        # 密鑰 = 明文 ^ e mod n
        encryptedBlocks.append(pow(block, e, n))
    return encryptedBlocks

def decryptMessage(encryptedBlocks, messageLength, key, blockSize):
    n, d = key
    decryptedBlocks = []
    for block in encryptedBlocks:
        # 明文 = 密鑰 ^ d mod n
        decryptedBlocks.append(pow(block, d, n))
    return getTextFromBlocks(decryptedBlocks, messageLength, blockSize)

內容解密：

  1. pow(block, e, n)：進行模冪運算，將明文區塊 block 提升到 e 次方後對 n 取模，得到密鑰區塊。
  2. n, e = key：從公鑰元組中提取模數 n 和公鑰指數 e。
  3. getBlocksFromText(message, blockSize)：將明文訊息分割成固定大小的區塊，並轉換為整數。
  4. 解密過程與加密過程類別似，但使用私鑰指數 d 替代 e。

金鑰檔案讀取與管理

金鑰檔案包含了金鑰大小、n 和 e（公鑰）或 d（私鑰）等資訊。讀取金鑰檔案的函式實作如下：

def readKeyFile(keyFilename):
    fo = open(keyFilename)
    content = fo.read()
    fo.close()
    keySize, n, EorD = content.split(',')
    return (int(keySize), int(n), int(EorD))

內容解密：

  1. 檔案讀取：開啟並讀取金鑰檔案內容。
  2. content.split(',')：根據逗號分隔符號將檔案內容分割成三個部分：金鑰大小、n 和 EorD（公鑰指數 e 或私鑰指數 d）。
  3. 型別轉換：將分割後的字串轉換為整數型別。

完整的 RSA 加密流程

完整的 RSA 加密流程包括讀取公鑰檔案、加密訊息、並將加密結果寫入檔案。相關函式實作如下：

def encryptAndWriteToFile(messageFilename, keyFilename, message, blockSize=DEFAULT_BLOCK_SIZE):
    keySize, n, e = readKeyFile(keyFilename)
    if keySize < blockSize * 8:
        sys.exit('ERROR: Block size is %s bits and key size is %s bits.' % (blockSize * 8, keySize))
    encryptedBlocks = encryptMessage(message, (n, e), blockSize)
    # 將加密後的區塊整數轉換為字串並寫入檔案
    for i in range(len(encryptedBlocks)):
        encryptedBlocks[i] = str(encryptedBlocks[i])
    encryptedContent = ','.join(encryptedBlocks)
    with open(messageFilename + '.enc', 'w') as f:
        f.write(encryptedContent)

內容解密：

  1. readKeyFile(keyFilename)：讀取公鑰檔案，取得金鑰大小、n 和 e。
  2. 金鑰大小檢查：確保金鑰大小大於或等於區塊大小（以位元為單位）。
  3. encryptMessage(message, (n, e), blockSize)：使用公鑰對訊息進行加密。
  4. 寫入加密結果：將加密後的整數區塊轉換為字串，並寫入 .enc 檔案。

RSA 密碼學與公開金鑰加密技術詳解

公開金鑰加密技術是一種重要的密碼學方法，它使用一對金鑰：公鑰和私鑰。公鑰用於加密，而私鑰用於解密。RSA 是一種常見的公開金鑰加密演算法，廣泛應用於安全資料傳輸。

RSA 加密流程實作

在 rsaCipher.py 中，encryptAndWriteToFile 函式負責將訊息加密並寫入檔案。該函式首先呼叫 readKeyFile 函式讀取公鑰檔案，獲得金鑰大小 keySize、模數 n 和公鑰指數 e。

def encryptAndWriteToFile(messageFilename, plaintext, keyFilename):
    keySize, n, e = readKeyFile(keyFilename)
    # ...

接下來，函式呼叫 encryptMessage 函式對訊息進行加密。加密後的結果是一個整數列表，代表加密後的區塊。

encryptedBlocks = encryptMessage(plaintext, (n, e), blockSize)

在將加密後的區塊寫入檔案之前，函式將整數列表轉換為字串，並用逗號分隔。

for i in range(len(encryptedBlocks)):
    encryptedBlocks[i] = str(encryptedBlocks[i])
encryptedContent = ','.join(encryptedBlocks)

內容解密：

  1. 整數轉字串：迴圈遍歷 encryptedBlocks，將每個整數轉換為字串，以滿足 join() 方法的要求。
  2. 字串拼接：使用 join() 方法將字串列表拼接成一個單一字串，逗號作為分隔符。
  3. 檔案寫入準備：將訊息長度、區塊大小和加密後的字串組合，準備寫入檔案。

RSA 解密流程實作

readFromFileAndDecrypt 函式負責從檔案中讀取加密訊息並解密。首先，它呼叫 readKeyFile 函式讀取私鑰檔案，獲得金鑰大小 keySize、模數 n 和私鑰指數 d。

def readFromFileAndDecrypt(messageFilename, keyFilename):
    keySize, n, d = readKeyFile(keyFilename)
    # ...

接下來，函式從檔案中讀取加密訊息，並進行解密。

content = fo.read()
messageLength, blockSize, encryptedMessage = content.split('_')
# ...
encryptedBlocks = []
for block in encryptedMessage.split(','):
    encryptedBlocks.append(int(block))

內容解密：

  1. 讀取檔案內容：開啟並讀取加密訊息檔案的內容。
  2. 解析檔案內容：使用 split() 方法解析出訊息長度、區塊大小和加密訊息。
  3. 還原整數區塊：將逗號分隔的加密訊息轉換回整數列表。
  4. 解密訊息：呼叫 decryptMessage 函式，使用私鑰對加密訊息進行解密。

程式碼實作重點

  • 金鑰管理：正確讀取和使用公鑰與私鑰檔案。
  • 區塊加密/解密：正確處理區塊大小與金鑰大小的關係，確保加密和解密過程的一致性。
  • 錯誤檢查：檢查金鑰大小是否大於或等於區塊大小，以確保 RSA 加密的正確性。

為何無法破解RSA密碼學

本章將探討為何RSA密碼學無法被破解。我們將分析RSA演算法的數學基礎，並解釋為何現有的密碼破解方法都無法對付它。

RSA密碼學的強度來源

RSA密碼學是一種公開金鑰加密演算法，它的安全性根據大數分解的難度。簡單來說，就是很難將一個大數分解為其質因數。

為何現有的密碼破解方法無法對付RSA

  1. 暴力破解攻擊：由於RSA金鑰非常長（通常為數百位數），因此使用暴力破解攻擊來嘗試所有可能的金鑰是不可行的。
  2. 字典攻擊：由於RSA金鑰是根據數字而非單詞，因此字典攻擊無效。
  3. 詞型攻擊：由於相同的明文單詞在不同的區塊中可能被加密成不同的密鑰，因此詞型攻擊無效。
  4. 頻率分析：由於每個加密區塊代表多個字元，因此無法對個別字元進行頻率分析。

RSA解密方程式

RSA解密方程式如下：

$M = C^d \mod n$

其中，$M$是明文區塊整數，$C$是密鑰區塊整數，私鑰由兩個數字$(d, n)$組成。每個人（包括密碼分析者）都可以取得公鑰檔案，該檔案提供了$(e, n)$，因此$n$是已知的。如果密碼分析者可以攔截密鑰（我們應該始終假設這是可能的），那麼她也知道$C$。但是，如果不知道$d$，就不可能進行解密並計算出$M$，即原始訊息。

密碼分析者的難題

密碼分析者知道$d$是$e \mod (p - 1) \times (q - 1)$的逆元，並且從公鑰中知道$e$。但是，她不知道$(p - 1) \times (q - 1)$的值。雖然她知道金鑰大小（在公鑰檔案中），因此知道$p$和$q$小於$2^{1024}$，並且$e$與$(p - 1) \times (q - 1)$互質。但是，$e$與很多數字互質，在$0$到$2^{1024}$的範圍內，暴力破解是不可行的。

尋找$n$的因數

密碼分析者可以從公鑰中獲得兩個數字$(e, n)$，並且從RSA演算法中知道$n = p \times q$。由於$p$和$q$都是質數，因此對於給定的$n$，只有兩個數字可以作為$p$和$q$。

def find_factors(num):
    # 傳回num的兩個因數p和q
    for i in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1):
        if num % i == 0:
            return (i, num / i)
    return None  # num沒有因數，num必定是質數

程式碼解析

此函式嘗試尋找num的因數。它遍歷從2到num平方根的所有數字，如果找到一個可以整除num的數字，則傳回該數字和num除以該數字的結果。如果找不到任何因數，則傳回None。

為何無法破解RSA

雖然上述方法看似可行，但事實上，n是一個非常大的數字（通常有600位數）。Python的math.sqrt()函式甚至無法處理這麼大的數字。此外，即使可以處理，Python也需要執行非常長的時間來找到n的因數。

事實上，大數分解是一個非常困難的問題。目前沒有已知的有效演算法可以在合理時間內分解大數。這使得RSA密碼學成為一種非常安全的加密方法。

隨著電腦技術的不斷發展，未來可能會出現更有效的密碼分析技術。因此，我們需要繼續關注密碼學的研究和發展，以確保我們的加密方法保持安全。

RSA 演算法流程

@startuml
skinparam backgroundColor #FEFEFE
skinparam defaultTextAlignment center
skinparam rectangleBackgroundColor #F5F5F5
skinparam rectangleBorderColor #333333
skinparam arrowColor #333333

title 為何無法破解RSA

rectangle "加密" as node1
rectangle "解密" as node2
rectangle "計算 n 和 φ(n)" as node3
rectangle "選擇 e" as node4
rectangle "計算 d" as node5
rectangle "使用 e 和 n" as node6
rectangle "使用 d 和 n" as node7

node1 --> node2
node2 --> node3
node3 --> node4
node4 --> node5
node5 --> node6
node6 --> node7

@enduml

圖表解析

此圖表展示了RSA演算法的基本流程，包括金鑰生成、加密和解密三個主要步驟。金鑰生成過程中，首先選擇兩個大質數p和q，然後計算n和φ(n)，接著選擇一個與φ(n)互質的數字e，最後計算e模φ(n)的逆元d。加密過程中，使用公鑰(e, n)將明文加密成密鑰。解密過程中，使用私鑰(d, n)將密鑰解密回明文。

公鑰密碼學與RSA加密法

在探討密碼學的世界中，我們已經見證了多種加密法的演變與破解過程。這些加密法曾經被認為是安全的，但最終都未能抵擋住駭客的攻擊。一個安全的加密法必須滿足一個基本條件：除了金鑰之外，即使公開所有的加密細節，仍然能夠保持訊息的機密性。這正是夏農定理（Shannon’s Maxim）所強調的：「敵人瞭解系統！」

為何不應自行撰寫加密程式碼？

自行撰寫加密程式碼往往會因為一些微妙的錯誤或實作上的疏失，而讓駭客有機可乘。專業的加密軟體是由密碼學家經過多年的研究和測試後開發出來的，即使如此，這些軟體仍需要經過其他密碼學家的檢驗，以確保其安全性和可靠性。

公鑰密碼學的重要性

公鑰密碼學，如RSA加密法，提供了一種解決方案，讓我們能夠在不安全的通道上安全地交換訊息。RSA加密法根據大數質因數分解的難題，利用一對金鑰：一把公鑰用於加密，另一把私鑰用於解密。其安全性依賴於分解兩個大質數的乘積的困難度。

RSA加密法的運作原理

# 簡化的RSA加密範例
def generate_keypair(p, q):
    n = p * q
    phi = (p-1) * (q-1)
    
    # 選擇e使得1 < e < phi且gcd(e, phi) = 1
    e = 2
    while gcd(e, phi) != 1:
        e += 1
    
    # 計算d使得d是e模phi的乘法逆元
    d = mod_inverse(e, phi)
    
    return ((e, n), (d, n))

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

def mod_inverse(a, m):
    m0 = m
    y = 0
    x = 1
    
    if m == 1:
        return 0
    
    while a > 1:
        q = a // m
        t = m
        m = a % m
        a = t
        t = y
        y = x - q * y
        x = t
    
    if x < 0:
        x += m0
    
    return x

# 假設p和q是兩個大質數
p = 61
q = 53
public_key, private_key = generate_keypair(p, q)
print("公鑰:", public_key)
print("私鑰:", private_key)

內容解密：

  1. generate_keypair函式：此函式用於生成RSA的金鑰對。首先計算n和phi(n)，然後選擇一個適當的e使得它與phi(n)互質，接著計算d作為e模phi(n)的乘法逆元。
  2. gcd函式：用於計算兩個數的最大公約數，採用歐幾裡得演算法。
  3. mod_inverse函式：計算一個數模另一個數的乘法逆元，這是RSA金鑰生成中的關鍵步驟。
  4. 選擇質數p和q：在實際應用中，p和q應該是非常大的質數，以確保RSA加密的安全性。

結語

密碼學是一個不斷演進的領域，需要持續的研究和學習。透過瞭解公鑰密碼學和RSA加密法等基礎知識，我們可以更好地理解如何保護我們的資料安全。對於希望深入密碼學領域的人來說，除了實踐之外，閱讀相關的書籍，如Simon Singh的「The Code Book」，也是一個很好的開始。繼續探索和學習，你將能夠成為這個領域的專家。