RSA 金鑰生成程式深入解析

RSA 金鑰生成過程涉及多個步驟，首先需產生兩個大質數 p 和 q，計算其乘積 n 作為模數。接著，計算 Euler’s totient 函式 φ(n) = (p-1)(q-1)，用於尋找與 φ(n) 互質的公鑰指數 e。最後，計算 e 模 φ(n) 的乘法逆元 d 作為私鑰指數。公鑰 (n, e) 可公開分享，私鑰 (n, d) 則需妥善保管。金鑰的安全性取決於質數 p 和 q 的大小，以及生成過程的隨機性。實際應用中，常搭配混合密碼系統，先用 RSA 加密對稱金鑰，再用對稱金鑰加密大量資料，兼顧安全性和效率。

RSA金鑰生成程式詳解

RSA是一種非對稱加密演算法，廣泛應用於現代密碼學中。本文將探討RSA金鑰生成程式的工作原理及其實作細節。

金鑰生成流程

金鑰生成是RSA演算法的核心步驟，涉及多個數學運算。以下是金鑰生成的步驟：

1. 生成兩個大質數p和q：首先，需要生成兩個大質數p和q。這些質數的大小取決於金鑰的大小，通常為1024位或更長。

   • 使用rabinMiller.generateLargePrime(keySize)函式生成p和q。

   p = rabinMiller.generateLargePrime(keySize)
   q = rabinMiller.generateLargePrime(keySize)
   

   • 計算n = p * q。

2. 計算e：e是一個與(p-1)*(q-1)互質的數。

   • 使用random.randrange(2 ** (keySize - 1), 2 ** (keySize))生成e的候選值。
   • 檢查e是否與(p-1)*(q-1)互質，若是則採用，否則繼續生成新的候選值。

   while True:
       e = random.randrange(2 ** (keySize - 1), 2 ** (keySize))
       if cryptomath.gcd(e, (p - 1) * (q - 1)) == 1:
           break
   

3. 計算d：d是e的模逆元，即d * e ≡ 1 (mod (p-1)*(q-1))。

   • 使用cryptomath.findModInverse(e, (p - 1) * (q - 1))計算d。

   d = cryptomath.findModInverse(e, (p - 1) * (q - 1))
   

金鑰對的產生

金鑰對由公鑰和私鑰組成，分別用於加密和解密。

• 公鑰：(n, e)
• 私鑰：(n, d)

publicKey = (n, e)
privateKey = (n, d)

程式碼解析

以下是關鍵程式碼段的詳細解析：

def generateKey(keySize):
    # 生成p和q
    print('Generating p prime...')
    p = rabinMiller.generateLargePrime(keySize)
    print('Generating q prime...')
    q = rabinMiller.generateLargePrime(keySize)
    n = p * q
    
    # 生成e
    print('Generating e that is relatively prime to (p-1)*(q-1)...')
    while True:
        e = random.randrange(2 ** (keySize - 1), 2 ** (keySize))
        if cryptomath.gcd(e, (p - 1) * (q - 1)) == 1:
            break
    
    # 計算d
    print('Calculating d that is mod inverse of e...')
    d = cryptomath.findModInverse(e, (p - 1) * (q - 1))
    
    publicKey = (n, e)
    privateKey = (n, d)
    
    print('Public key:', publicKey)
    print('Private key:', privateKey)
    
    return (publicKey, privateKey)

內容解密：

此函式負責生成RSA金鑰對。首先，它生成兩個大質數p和q，並計算n = p * q。接著，它找到一個與(p-1)*(q-1)互質的數e。然後，計算e的模逆元d。最後，將(n, e)作為公鑰，將(n, d)作為私鑰傳回。

RSA 密碼學與公開金鑰加密技術

金鑰生成與儲存的安全考量

在實作 RSA 加密演算法時，金鑰的生成與儲存是至關重要的環節。makeRsaKeys.py 程式負責生成 RSA 公鑰與私鑰，並將其儲存於檔案中。

程式碼解析

def generateKey(keySize):
    # 生成大質數 p 與 q
    p = rabinMiller.generateLargePrime(keySize)
    q = rabinMiller.generateLargePrime(keySize)
    n = p * q
    
    # 計算 Euler's totient 函式
    totient = (p - 1) * (q - 1)
    
    # 尋找 e 與 totient 的最大公約數為 1
    e = findE(totient)
    d = findD(e, totient)
    
    publicKey = (n, e)
    privateKey = (n, d)
    return publicKey, privateKey

內容解密：

1. generateKey 函式首先生成兩個大質數 p 和 q，其大小由 keySize 決定。
2. 計算 n = p * q，作為 RSA 演算法中的模數。
3. 計算 totient = (p - 1) * (q - 1)，即 Euler’s totient 函式，用於後續計算。
4. 使用 findE 函式找到一個與 totient 互質的數 e，作為公鑰的一部分。
5. 使用 findD 函式計算 d，使得 d 是 e 模 totient 的乘法逆元，作為私鑰的一部分。
6. 傳回公鑰 (n, e) 和私鑰 (n, d)。

金鑰檔案的儲存與安全風險

生成的金鑰需要儲存於檔案中，以便後續的加密與解密操作。然而，這也帶來了安全風險。

程式碼解析

def makeKeyFiles(name, keySize):
    if os.path.exists('%s_pubkey.txt' % (name)) or os.path.exists('%s_privkey.txt' % (name)):
        sys.exit('WARNING: The file %s_pubkey.txt or %s_privkey.txt already exists!')
    
    publicKey, privateKey = generateKey(keySize)
    
    # 儲存公鑰與私鑰至檔案
    fo = open('%s_pubkey.txt' % (name), 'w')
    fo.write('%s,%s,%s' % (keySize, publicKey[0], publicKey[1]))
    fo.close()
    
    fo = open('%s_privkey.txt' % (name), 'w')
    fo.write('%s,%s,%s' % (keySize, privateKey[0], privateKey[1]))
    fo.close()

內容解密：

1. 檢查是否已存在同名的公鑰或私鑰檔案，若存在則終止程式以避免覆寫。
2. 生成金鑰對，並將其儲存於檔案中。
3. 公鑰與私鑰檔案的格式為：金鑰大小,n,e（或d）。

混合密碼系統

由於 RSA 演算法的計算複雜度較高，在實際應用中常採用混合密碼系統，即使用 RSA 加密對稱金鑰，再使用對稱金鑰進行資料加密。

RSA 加密與解密程式

rsaCipher.py 程式實作了 RSA 加密與解密功能。

程式碼解析

def main():
    filename = 'encrypted_file.txt'
    mode = 'encrypt'
    
    if mode == 'encrypt':
        message = '...your message here...'
        # 加密訊息
        encryptedMessage = encryptAndWriteToFile(filename, message)
    else:
        # 解密訊息
        decryptedMessage = readFromFileAndDecrypt(filename)

內容解密：

1. 設定要加密或解密的檔案名稱。
2. 若為加密模式，則呼叫 encryptAndWriteToFile 函式進行加密並寫入檔案。
3. 若為解密模式，則呼叫 readFromFileAndDecrypt 函式從檔案中讀取並解密。

RSA 加密演算法實作與解析

RSA 加密演算法是一種非對稱加密技術，廣泛應用於現代密碼學中。本篇文章將探討 RSA 加密演算法的實作細節，並對相關程式碼進行詳細解析。

RSA 加密演算法基本原理

RSA 加密演算法的安全性根據大數分解的困難性。它使用一對金鑰：公鑰和私鑰。公鑰用於加密資料，而私鑰則用於解密。

金鑰生成

RSA 金鑰生成的基本步驟如下：

1. 選擇兩個大質數 $p$ 和 $q$。
2. 計算 $n = p \times q$，$n$ 將作為公鑰和私鑰的一部分。
3. 計算 $\phi(n) = (p-1) \times (q-1)$。
4. 選擇一個整數 $e$，使得 $1 < e < \phi(n)$ 且 $e$ 與 $\phi(n)$ 互質。$e$ 將作為公鑰的一部分。
5. 計算 $d$，使得 $d \times e \equiv 1 \mod \phi(n)$。$d$ 將作為私鑰的一部分。

程式碼實作

以下是 RSA 加密演算法的 Python 程式碼實作：

def getBlocksFromText(message, blockSize=128):
    # 將字串訊息轉換為區塊整數列表
    messageBytes = message.encode('ascii')
    blockInts = []
    for blockStart in range(0, len(messageBytes), blockSize):
        blockInt = 0
        for i in range(blockStart, min(blockStart + blockSize, len(messageBytes))):
            blockInt += messageBytes[i] * (256 ** (i % blockSize))
        blockInts.append(blockInt)
    return blockInts

#### 內容解密：
此函式將輸入的訊息字串轉換為區塊整數列表。區塊大小預設為 128 位元組。首先，將訊息字串編碼為 ASCII 位元組序列。然後，遍歷位元組序列，每次處理一個區塊。在每個區塊內，將位元組值乘以 256 的冪次方（根據位元組在區塊中的位置），並累加得到區塊整數。最後，將所有區塊整數存入列表並傳回。

def encryptMessage(message, key, blockSize=128):
    # 將訊息字串轉換為區塊整數列表，並對每個區塊進行加密
    encryptedBlocks = []
    n, e = key
    for block in getBlocksFromText(message, blockSize):
        encryptedBlocks.append(pow(block, e, n))
    return encryptedBlocks

#### 內容解密：
此函式使用提供的公鑰對訊息進行加密。首先，呼叫 `getBlocksFromText` 函式將訊息轉換為區塊整數列表。然後，對每個區塊整數，使用 RSA 加密公式 $c = m^e \mod n$ 進行加密，其中 $m$ 是明文區塊，$e$ 和 $n$ 是公鑰的一部分。加密後的區塊整數存入列表並傳回。

def decryptMessage(encryptedBlocks, messageLength, key, blockSize=128):
    # 將加密的區塊整數列表解密為原始訊息字串
    decryptedBlocks = []
    n, d = key
    for block in encryptedBlocks:
        decryptedBlocks.append(pow(block, d, n))
    return getTextFromBlocks(decryptedBlocks, messageLength, blockSize)

#### 內容解密：
此函式使用提供的私鑰對加密的區塊整數列表進行解密。首先，對每個加密區塊，使用 RSA 解密公式 $m = c^d \mod n$ 進行解密，其中 $c$ 是密鑰區塊，$d$ 和 $n$ 是私鑰的一部分。解密後的區塊整數存入列表。然後，呼叫 `getTextFromBlocks` 函式將解密的區塊整數列表轉換回原始訊息字串。

程式碼最佳化與改進

1. 錯誤處理：目前的程式碼對於錯誤的處理較為簡單，例如金鑰大小與區塊大小的比較。應該增加更多的錯誤處理機制，例如檢查輸入引數的有效性。

2. 效能最佳化：對於大資料量的加密和解密，可以考慮使用更高效的演算法或最佳化現有的實作，例如使用 Montgomery 乘法進行模冪運算。

3. 安全性增強：除了基本的 RSA 加密外，可以考慮加入額外的安全措施，例如使用隨機填充（padding）來防止某些型別的攻擊。

公鑰密碼學與RSA加密演算法詳解

前言

公鑰密碼學是一種革命性的密碼學技術，它允許在不安全的通道上進行安全的資訊傳輸。RSA加密演算法是公鑰密碼學中最著名和最廣泛使用的一種演算法。本章將探討公鑰密碼學的基本原理和RSA加密演算法的實作細節。

公鑰密碼學的基本原理

公鑰密碼學使用一對金鑰：公鑰和私鑰。公鑰用於加密資訊，而私鑰則用於解密資訊。這種方法的優點是，公鑰可以公開分享，而私鑰則保持秘密，從而實作了安全的資訊傳輸。

RSA加密演算法的實作

RSA加密演算法是一種根據大數分解難題的公鑰密碼學演算法。它的安全性取決於大數分解的難度。RSA演算法的實作包括以下幾個步驟：

1. 金鑰生成：首先，需要生成一對RSA金鑰。這涉及到選擇兩個大質數$p$和$q$，計算$n = p \times q$和$\phi(n) = (p-1) \times (q-1)$，然後選擇一個與$\phi(n)$互質的數$e$作為公鑰指數，最後計算$d = e^{-1} \mod \phi(n)$作為私鑰指數。

   # 金鑰生成範例
   def generate_keypair(p, q):
       n = p * q
       phi = (p-1) * (q-1)
   
       # 選擇公鑰指數e
       e = 65537  # 通常使用固定值如65537
   
       # 計算私鑰指數d
       d = mod_inverse(e, phi)
   
       return ((e, n), (d, n))
   

   內容解密：

   • generate_keypair函式用於生成RSA金鑰對。
   • p和q是兩個大質數，它們的乘積n是模數。
   • phi是尤拉函式，用於計算私鑰指數d。
   • e是公鑰指數，通常選擇一個固定值如65537。
   • d是私鑰指數，透過計算e模phi的逆得到。

2. 加密：使用公鑰$(e, n)$對資訊進行加密。加密過程涉及到將明文轉換為數字表示，然後使用模冪運算進行加密。

   # 加密範例
   def encrypt(public_key, plaintext):
       e, n = public_key
       # 將明文轉換為數字表示
       plaintext_num = int.from_bytes(plaintext.encode(), 'big')
   
       # 進行模冪運算加密
       ciphertext_num = pow(plaintext_num, e, n)
   
       return str(ciphertext_num)
   

   內容解密：

   • encrypt函式使用公鑰對明文進行加密。
   • public_key是包含公鑰指數e和模數n的元組。
   • 明文首先被轉換為數字表示，然後使用模冪運算進行加密。
   • 加密後的數字表示被轉換為字串傳回。

3. 解密：使用私鑰$(d, n)$對密鑰進行解密。解密過程同樣涉及到模冪運算。

   # 解密範例
   def decrypt(private_key, ciphertext):
       d, n = private_key
       # 將密鑰從字串轉換為數字
       ciphertext_num = int(ciphertext)
   
       # 進行模冪運算解密
       plaintext_num = pow(ciphertext_num, d, n)
   
       # 將數字表示轉換回明文
       plaintext = plaintext_num.to_bytes((plaintext_num.bit_length() + 7) // 8, 'big').decode()
   
       return plaintext
   

   內容解密：

   • decrypt函式使用私鑰對密鑰進行解密。
   • private_key是包含私鑰指數d和模數n的元組。
   • 密鑰首先被轉換為數字表示，然後使用模冪運算進行解密。
   • 解密後的數字表示被轉換回明文字串傳回。

RSA加密演算法的安全性

RSA加密演算法的安全性根據大數分解的難度。目前，尚無有效的演算法可以在合理時間內分解大合數，因此RSA被認為是安全的。然而，隨著計算能力的提高和量子電腦的發展，RSA的安全性可能會受到挑戰。