探討布魯塞爾選擇問題和逆考拉茲猜想，解析其核心演算法和 Python 程式碼實作細節，並延伸探討其他數學問題的演算法和程式碼，包含計算可能的拐角數量、尋找最近的 S 邊形數以及確定支點位置等，提供程式碼實作範例與逐步說明，幫助讀者理解演算法的設計思路和實作技巧。此外，文章也涵蓋了計算球體金字塔區塊數量、硬幣分組問題以及三數中位數的中位數演算法，提供完整的程式碼實作和解析，讓讀者能更全面地掌握這些演算法的應用。
布魯塞爾選擇問題與逆考拉茲猜想的技術解析
布魯塞爾選擇問題的 Python 實作分析
布魯塞爾選擇問題涉及對給定數字進行特定操作並排序輸出的過程。以下為其 Python 程式碼實作：
def insertion_sort(arr):
for i in range(1, len(arr)):
k = arr[i]
j = i - 1
while j >= 0 and k < arr[j]:
arr[j + 1] = arr[j]
j -= 1
arr[j + 1] = k
return arr
def brussels_choice_problem(n, min_k, max_k):
res = []
digits = [int(d) for d in str(n)]
for k in range(min_k, max_k + 1):
for i in range(len(digits) - k + 1):
d = int(''.join(str(d) for d in digits[i:i + k]))
if d % 2 == 0:
hd = d // 2
new_digits = digits[:i] + [int(d) for d in str(hd)] + digits[i + k:]
new_num = int(''.join(str(d) for d in new_digits))
res.append(new_num)
nd = d * 2
new_digits = digits[:i] + [int(d) for d in str(nd)] + digits[i + k:]
new_num = int(''.join(str(d) for d in new_digits))
res.append(new_num)
res = insertion_sort(res)
return res
程式碼解析：
insertion_sort函式：實作插入排序演算法，用於對結果列表進行排序。- 使用逐步比較的方式，將未排序的元素插入已排序序列的正確位置。
- 保證輸出結果的有序性。
brussels_choice_problem函式：- 將輸入數字
n轉換為數字列表digits。 - 遍歷所有可能的連續子數字片段（長度範圍從
min_k到max_k）。 - 對每個片段，若數字為偶數，則進行除以 2 和乘以 2 的操作，並將結果重新組合成新數字。
- 將所有結果存入列表並排序後傳回。
- 將輸入數字
逆考拉茲猜想的技術實作與解析
逆考拉茲猜想涉及根據給定的字元序列計算其對應的數值，並驗證其正確性。以下為其 Python 程式碼實作：
def check_if_integer(number):
return number % 1 == 0
def pop_last_item(input_list):
last_item = input_list[-1]
del input_list[-1]
return last_item
def inverse_collatz_conjecture(shape):
shape_list = list(shape)
x = 1.0
while shape_list:
item = pop_last_item(shape_list)
if item == 'd':
x *= 2
elif item == 'u':
prev = (x - 1) / 3
if check_if_integer(prev):
x = prev
else:
return None
if x == 0 or not shape:
return None
true_answer = ''
num = x
while num != 1:
if num % 2 == 0:
true_answer += 'd'
num /= 2
elif num % 2 == 1:
true_answer += 'u'
num = 3 * num + 1
return int(x) if true_answer == shape else None
程式碼解析：
check_if_integer函式：檢查給定數字是否為整數。- 用於驗證在逆考拉茲猜想運算過程中產生的數值是否合法。
pop_last_item函式：彈出列表中的最後一個元素。- 用於從字元序列的末尾開始處理。
inverse_collatz_conjecture函式：- 將輸入字元序列轉換為列表，並初始化變數
x為 1.0。 - 從右到左遍歷字元序列，根據字元 ’d’ 或 ‘u’ 更新
x的值。 - 若運算過程中出現非整數，則傳回
None。 - 最後透過正向考拉茲猜想驗證結果的正確性，若一致則傳回整數
x，否則傳回None。
- 將輸入字元序列轉換為列表，並初始化變數
數學運算的精確實作
在處理數學問題時，我們經常需要實作一些演算法來解決特定的數學挑戰。本章節將探討三個重要的數學問題：計算可能的拐角數量、找到最近的S邊形數以及確定支點位置。
計算可能的拐角數量
拐角是由三個點組成的特定形狀，分別是(x, y)、(x, y + h)和(x + h, y)，其中h大於0。給定一個按照x座標排序（若x相同則按y座標排序）的點列表，我們需要計算出可能的拐角數量。
演算法步驟
- 初始化一個名為
counter的變數為0，用於計數拐角數量。 - 使用巢狀迴圈遍歷點列表中的每個點。
- 對於每個點，檢查是否存在另一個x座標更大的點，且y座標相同。
- 如果存在這樣的點，則檢查是否能形成拐角所需的第三個點也在列表中。
- 如果第三個點存在，則將
counter加1。 - 傳回最終的
counter值。
程式碼實作
def counting_possible_corners(points):
counter = 0
for x, y in points:
for x2, y2 in points:
if x2 > x and y2 == y and (x + y2 - y, y + x2 - x) in points:
counter += 1
return counter
內容解密：
- 首先，我們初始化一個變數
counter來儲存拐角的數量。 - 使用巢狀迴圈遍歷所有點對，以檢查是否能形成拐角。
- 條件
x2 > x and y2 == y確保了第二個點在第一個點的右側且在同一水平線上。 - 表示式
(x + y2 - y, y + x2 - x)計算出第三個點的座標，檢查它是否存在於點列表中以確認拐角的存在。 - 每當找到一個拐角時，
counter就會加1。
找到最近的S邊形數
給定一個正整數s（s > 2）和一個正整數n，我們需要找到最接近n的s邊形數。如果有兩個s邊形數與n的距離相同，則傳回較小的那個。
演算法步驟
- 定義一個函式來計算第i個s邊形數，使用公式：$P(s, i) = \frac{(s-2)i^2 - (s-4)i}{2}$。
- 使用二分搜尋法找到最接近n的s邊形數的大致位置。
- 檢查該位置周圍的三個s邊形數，傳回最接近n的那個。
程式碼實作
def nearest_polygonal_number(n, sides):
def calculate_polygonal_number(index):
return ((sides - 2) * index ** 2 - (sides - 4) * index) // 2
upper_bound = 1
while calculate_polygonal_number(upper_bound) <= n:
upper_bound *= 2
lower_bound, upper_bound = 0, upper_bound
while lower_bound < upper_bound:
middle_index = (lower_bound + upper_bound) // 2
if calculate_polygonal_number(middle_index) < n:
lower_bound = middle_index + 1
else:
upper_bound = middle_index
closest_distance = float('inf')
nearest_polygonal = None
for i in [-1, 0, 1]:
polygonal = calculate_polygonal_number(lower_bound + i)
distance = abs(polygonal - n)
if distance < closest_distance:
closest_distance = distance
nearest_polygonal = polygonal
return nearest_polygonal
內容解密：
calculate_polygonal_number函式根據給定的s和index計算s邊形數。- 二分搜尋法用於找到最接近
n的s邊形數的位置範圍。 - 在找到的大致位置周圍檢查三個s邊形數，以確定哪一個最接近
n。
確定支點位置
在一個非空的數值列表中，找到一個位置，使得其左側所有元素的總和等於右側所有元素的總和，這個位置被稱為支點。
演算法步驟（待補充）
目前提供的內容和程式碼主要圍繞前兩個問題展開，對於第三個問題“確定支點位置”的詳細演算法步驟和程式碼實作尚未給出。期待進一步的補充和闡述。
3.7 尋找支點位置
在物理學中，支點（fulcrum）是指槓桿或其他機械繫統中，支撐或旋轉的點。給定一組權重數值，目標是找到一個位置，使得該位置左側的權重和右側的權重相等。本文將介紹一個演算法，用於在給定的數值列表中找到支點的位置。
演算法
該演算法的目標是找到一個索引，使得該索引左側元素的權重和與右側元素的權重和相等。具體步驟如下：
- 輸入一個數值列表，稱為
weights。 - 使用
for迴圈遍歷weights列表的每個索引。 - 對於每個索引
i，計算左側元素的權重和（即索引i之前的元素）以及右側元素的權重和（即索引i之後的元素）。左側權重和的計算方法是將每個元素乘以其與索引i的距離（即i-j），右側權重和的計算方法是將每個元素乘以其與索引i的距離（即j-i）。 - 如果左側權重和等於右側權重和，則傳回索引
i作為支點的位置。 - 如果遍歷完所有索引後仍未找到支點，則傳回 -1。
Python 程式碼實作
def find_fulcrum_position(weights):
for i in range(len(weights)):
left_weight_sum = sum(weights[j] * (i - j) for j in range(i))
right_weight_sum = sum(weights[j] * (j - i) for j in range(i + 1, len(weights)))
if left_weight_sum == right_weight_sum:
return i
return -1
內容解密：
for i in range(len(weights)):這行程式碼用於遍歷weights列表的每個索引。left_weight_sum = sum(weights[j] * (i - j) for j in range(i))計算左側元素的權重和，將每個元素乘以其與當前索引i的距離。right_weight_sum = sum(weights[j] * (j - i) for j in range(i + 1, len(weights)))計算右側元素的權重和，同樣將每個元素乘以其與當前索引i的距離。if left_weight_sum == right_weight_sum:檢查左側權重和是否等於右側權重和，如果相等，則傳回當前索引i。- 如果迴圈結束仍未找到支點，則傳回 -1，表示沒有找到滿足條件的支點。
3.8 計算球體金字塔區塊數量
本文探討如何計算構建球體金字塔所需的總區塊數量。假設金字塔的頂層有 n 行和 m 列的球體，每下一層的行數和列數都增加 1。
演算法
該演算法透過一系列公式計算金字塔所需的總球體數量。具體步驟如下：
- 將輸入的高度
h減去 1，以與公式中的層數定義保持一致。 - 使用公式
a = m * n * (h + 1)計算初始的區塊數量。 - 新增額外的區塊，使用公式
a += (m + n) * (h * (h + 1) // 2)，計算每一層額外需要的區塊數量。 - 最後，使用公式
a += (h * (h + 1) * (2 * h + 1)) // 6新增額外的區塊，以形成金字塔的每一層。 - 傳回最終的區塊數量
a。
Python 程式碼實作
def counting_sphere_pyramid_blocks(n, m, h):
h -= 1
a = m * n * (h + 1)
a += (m + n) * (h * (h + 1) // 2)
a += (h * (h + 1) * (2 * h + 1)) // 6
return a
內容解密：
h -= 1將輸入高度調整為從 0 開始計數，以便與後續公式保持一致。a = m * n * (h + 1)初始化區塊數量，根據金字塔的尺寸和高度計算。a += (m + n) * (h * (h + 1) // 2)新增每一層額外需要的區塊數量，利用前h個三角數的和進行計算。a += (h * (h + 1) * (2 * h + 1)) // 6新增形成金字塔每一層所需的額外區塊，利用前h個平方數的和進行計算。- 傳回最終的區塊數量
a。
3.9 硬幣分組問題
本文討論如何將一組硬幣分成若干組，並計算每次分組後剩餘的硬幣數量。
演算法
該演算法使用遞迴方法將硬幣分組，直到無法再分組。具體步驟如下：
- 如果輸入的硬幣數量
n為 0，則傳回一個空列表。 - 計算本次分組後剩餘的硬幣數量，使用公式
n % g，其中g是分組數量。 - 更新剩餘硬幣數量，使用公式
n // g * c，其中c是常數。 - 重複步驟 2 和 3，直到無法再分組。
- 傳回每次分組後剩餘硬幣數量的列表。
Python 程式碼實作（根據上下文補充完整）
def group_coins(n, g, c):
result = []
while n > 0:
remain = n % g
result.append(remain)
n = n // g * c
return result
內容解密：
while n > 0:當前硬幣數量大於 0 時，持續進行分組。remain = n % g計算本次分組後剩餘的硬幣數量。result.append(remain)將剩餘硬幣數量加入結果列表。n = n // g * c更新剩餘硬幣數量，用於下一輪分組計算。- 傳回結果列表，包含每次分組後的剩餘硬幣數量。
3.10 三數中位數的中位數演算法實作
在這個挑戰中，我們需要對一個正整數列表進行重複運算，直到列表中最多隻剩下三個數字。具體來說，我們需要計算每三個數字的中位數，並將這些中位數作為下一次運算的輸入。這一過程持續進行，直到列表中最多剩下三個數字，最後傳回這三個數字的中位數作為最終結果。
演算法步驟
- 首先，我們需要取得輸入列表的長度。
- 如果列表長度為1，直接傳回該數字作為中位數。
- 否則，建立一個名為
medians的空列表，用於儲存每組三個數字的中位數。 - 將輸入列表分成多個子列表，每個子列表包含三個數字。使用
for迴圈和range函式來實作這一步驟，並對每個子列表進行排序，取得中間的數字作為中位數。 - 將每個子列表的中位數加入到
medians列表中。 - 對
medians列表遞迴呼叫相同的函式，直到列表中最多剩下三個數字。 - 當列表中最多剩下三個數字時，對它們進行排序，並傳回中間的數字作為最終的中位數。
Python 程式碼實作
def insertion_sort(arr):
for i in range(1, len(arr)):
key = arr[i]
j = i - 1
while j >= 0 and key < arr[j]:
arr[j + 1] = arr[j]
j -= 1
arr[j + 1] = key
return arr
def median_of_medians(items):
n = len(items)
if n == 1:
return items[0]
else:
medians = []
for i in range(0, n, 3):
sublist = items[i:i + 3]
if len(sublist) < 3:
median = sublist[len(sublist) // 2]
else:
sorted_sublist = insertion_sort(sublist)
median = sorted_sublist[1]
medians.append(median)
if len(medians) > 3:
return median_of_medians(medians)
else:
sorted_items = insertion_sort(medians)
return sorted_items[len(sorted_items) // 2]
程式碼解析：
insertion_sort函式用於對列表進行排序，採用插入排序演算法。median_of_medians函式首先檢查輸入列表的長度，如果長度為1，直接傳回該元素。- 將輸入列表分成每三個一組的子列表，並計算每個子列表的中位數，將這些中位數存入
medians列表。 - 對
medians列表遞迴呼叫median_of_medians函式，直到列表長度不超過3。 - 最終對不超過三個元素的列表進行排序，並傳回中位數。