離心機平衡問題的核心在於能否利用孔數的質因陣列合出試管數和剩餘孔數。解決方案包含兩個關鍵步驟：首先，分解孔數以取得其所有質因數；其次，利用動態規劃方法判斷能否以這些質因陣列合出目標數字。區間擴充套件與壓縮是常見的數字處理技術，前者將區間表示式展開成完整數字列表，後者則將數字列表壓縮成區間表示式。這些技術在資料處理和分析中扮演重要角色，例如資料範圍的快速表示和查詢。
def is_balanced_centrifuge(n, k):
def get_primes(n):
primes = []
i = 2
while n > 1:
if n % i == 0:
if i not in primes:
primes.append(i)
n /= i
else:
i += 1
return primes
def can_build_number(arr, n):
ways = [0] * (n + 1)
ways[0] = 1
for i in range(len(arr)):
for j in range(arr[i], n + 1):
ways[j] += ways[j - arr[i]]
return ways[n] != 0
primes = get_primes(n)
return can_build_number(primes, k) and can_build_number(primes, n - k)
def expanding_integer_intervals(intervals):
if intervals == '':
return []
result = []
intervals_list = intervals.split(',')
for interval in intervals_list:
if '-' not in interval:
result.append(int(interval))
else:
start_end = interval.split('-')
start = int(start_end[0])
end = int(start_end[1])
result.extend(range(start, end + 1))
return result
def collapse_integer_intervals(items):
if not items:
return ''
ranges = []
start = end = None
for item in items:
if start is None:
start = end = item
elif item == end + 1:
end = item
else:
if start == end:
ranges.append(str(start))
else:
ranges.append(f'{start}-{end}')
start = end = item
if start == end:
ranges.append(str(start))
else:
ranges.append(f'{start}-{end}')
return ','.join(ranges)
def is_left_handed_dice(pips):
Left_Handed = [(1, 2, 3), (3, 1, 2), (2, 3, 1),
(1, 4, 2), (2, 1, 4), (6, 3, 2),
(4, 2, 1), (5, 6, 4), (4, 5, 6), (6, 4, 5),
(3, 6, 5), (5, 3, 6),
(6, 5, 3), (5, 4, 1), (1, 5, 4), (4, 1, 5),
(2, 4, 6), (6, 2, 4),
(4, 6, 2), (1, 3, 5), (5, 1, 3), (3, 5, 1),
(2, 6, 3), (3, 2, 6)]
if pips in Left_Handed:
return True
else:
return False
def duplicate_digit_score(n):
score = 0
count = 1
prev_digit = None
for digit in str(n):
if digit == prev_digit:
count += 1
else:
if count > 1:
score += 10 ** (count - 2)
count = 1
prev_digit = digit
if count > 1:
score += 2 * (10 ** (count - 2))
return score
平衡離心機問題解析
離心機在科學實驗中扮演重要角色，為確保其高效運轉及避免損壞，必須平衡放置其中的試管。本章節將探討如何判斷給定情況下離心機是否達到平衡狀態。
問題描述
給定離心機的孔數（n）和放置的試管數（k），需設計函式判斷是否平衡。平衡條件為：能夠使用n的質因陣列合出k和n-k。
演算法設計
- 求n的質因數：設計函式
get_primes(n)，找出n的所有質因數並存入列表。 - 判斷能否組合出指定數字：設計函式
can_build_number(arr, n)，利用動態規劃檢查是否能使用給定列表中的數字組合出n。
程式碼實作
def is_balanced_centrifuge(n, k):
def get_primes(n):
"""傳回n的質因數列表"""
primes = []
i = 2
while n > 1:
if n % i == 0:
if i not in primes:
primes.append(i)
n /= i
else:
i += 1
return primes
def can_build_number(arr, n):
"""判斷是否能用arr中的數字組合出n"""
ways = [0] * (n + 1)
ways[0] = 1
for i in range(len(arr)):
for j in range(arr[i], n + 1):
ways[j] += ways[j - arr[i]]
return ways[n] != 0
primes = get_primes(n)
return can_build_number(primes, k) and can_build_number(primes, n - k)
程式碼解析：
get_primes(n)函式：- 初始化空列表
primes儲存質因數，變數i從2開始。 - 當
n > 1時，不斷檢查i是否為n的因數，若是則加入primes並更新n。 - 若
i不是因數，則遞增i。 - 最終傳回
primes列表。
- 初始化空列表
can_build_number(arr, n)函式：- 初始化列表
ways，大小為n+1，並設ways[0] = 1，表示組合出0有一種方法（不選任何數字）。 - 遍歷
arr中每個元素，並更新ways[j]，表示組合出j的方法數。 - 傳回
ways[n] != 0，表示能否組合出n。
- 初始化列表
is_balanced_centrifuge(n, k)函式：- 取得
n的質因數列表。 - 檢查是否能用質因陣列合出
k和n-k，兩者皆可時傳回True。
- 取得
第四章：數字相關問題的挑戰與解決方案
本章將探討21個與數字相關的挑戰，並透過Python程式設計來解決這些問題。這些挑戰涵蓋了從檢查數字特性到排序和處理數字序列的多個方面。
4.1 檢查數字是否為Cyclop數
Cyclop數是一種特殊的非負整數，它滿足以下條件：
- 數字位數為奇數。
- 中間數字（或稱為“眼睛”）為0。
- 其他所有數字均非零。
演算法步驟：
- 將輸入整數轉換為字串以檢查其位數。
- 如果位數為偶數，則傳回False。
- 檢查中間數字是否為0，如果不是，則傳回False。
- 計算字串中0的數量，如果大於1，則傳回False。
- 如果以上條件均滿足，則傳回True，表示該數字是Cyclop數。
Python程式碼：
def cyclop_number(n):
digits = str(n)
if len(digits) % 2 == 0:
return False
middle_number = len(digits) // 2
if digits[middle_number] != '0':
return False
count = digits.count('0')
if count > 1:
return False
return True
程式碼解析：
digits = str(n)將輸入整數轉換為字串，以便於檢查其位數和每個數字。if len(digits) % 2 == 0檢查位數是否為偶數，如果是，則立即傳回False，因為Cyclop數的位數必須是奇數。middle_number = len(digits) // 2計算中間位置的索引。if digits[middle_number] != '0'檢查中間數字是否為0，如果不是，則傳回False。count = digits.count('0')統計字串中0的數量，如果大於1，則傳回False，因為Cyclop數只允許一個0。- 如果所有檢查透過，則傳回True，表示輸入整數是Cyclop數。
4.2 檢查是否存在多米諾迴圈
多米諾迴圈是指一組多米諾牌可以首尾相連，形成一個迴圈。本小節的任務是編寫一個函式，輸入一組多米諾牌，檢查是否存在多米諾迴圈。
演算法步驟：
- 遍歷輸入的多米諾牌列表。
- 檢查每張牌的第一個數字是否與前一張牌的第二個數字相等（考慮迴圈，即最後一張牌與第一張牌比較）。
- 如果發現任何一對不匹配，則傳回False，表示不存在多米諾迴圈。
- 如果遍歷完成後沒有發現不匹配，則傳回True，表示存在多米諾迴圈。
Python程式碼：
def Is_a_domino_cycle(tiles):
index = 0
while index < len(tiles):
if tiles[index][0] != tiles[(index-1)%len(tiles)][1]:
return False
index += 1
return True
程式碼解析：
while index < len(tiles)遍歷輸入的多米諾牌列表。if tiles[index][0] != tiles[(index-1)%len(tiles)][1]檢查當前牌的第一個數字是否與前一張牌的第二個數字相等。使用(index-1)%len(tiles)來實作迴圈比較，即最後一張牌與第一張牌比較。- 如果發現不匹配，立即傳回False。
- 如果遍歷完成後沒有發現不匹配，則傳回True，表示存在多米諾迴圈。
4.3 從給定字串中提取遞增數字
本小節的任務是從給定的數字字串中提取遞增的數字序列。
演算法步驟：
- 初始化一個空列表用於儲存遞增的數字。
- 遍歷輸入字串中的每個數字。
- 如果當前數字大於前一個數字，則將其新增到列表中。
- 如果遇到不遞增的情況，嘗試將當前數字與下一個數字合併，並檢查合併後的數字是否大於前一個數字。如果是，則將合併後的數字新增到列表中。
- 傳回提取出的遞增數字列表。
Python程式碼：
def extract_increasing_digits(digits):
storage = []
concatnumbers = ''
b = 1
prev_num = int(digits[0])
storage.append(prev_num)
for i in range(1, len(digits)):
curr_num = int(digits[i])
if curr_num > prev_num and b == 1:
storage.append(curr_num)
prev_num = curr_num
else:
b = 0
concatnumbers += digits[i]
if i == len(digits) - 1 or int(concatnumbers) > prev_num:
storage.append(int(concatnumbers))
concatnumbers = ''
if i < len(digits) - 1:
prev_num = int(digits[i+1])
return storage
程式碼解析：
- 初始化變數和列表以儲存結果和臨時計算值。
for i in range(1, len(digits)):遍歷輸入字串中的每個數字（從第二個開始）。- 邏輯判斷部分根據當前和前一個數字的大小關係，決定是直接新增到列表還是進行合併後再新增。
- 傳回最終提取出的遞增數字列表。
這些挑戰展示瞭如何透過仔細設計的演算法和Python程式設計來解決各種與數字相關的問題。透過對每個問題的逐步分析和程式碼實作，可以加深對問題解決方法的理解，並提高程式設計技能。
數字處理技術：區間擴充套件與壓縮
在數字處理領域，區間的擴充套件與壓縮是常見的操作。本文將探討如何實作整數區間的擴充套件與壓縮，並提供詳細的Python程式碼實作。
4.4 擴充套件整數區間
給定一個包含數字和區間的字串，任務是將其擴充套件為一個包含所有數字的列表。例如，輸入字串 '1,7-16,120-124,568'，期望的輸出是 [1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 120, 121, 122, 123, 124, 568]。
演算法步驟
- 將輸入字串按逗號分隔成多個區間。
- 遍歷每個區間，檢查是否包含
-符號。 - 如果不包含
-，直接將數字轉換為整數並新增到結果列表中。 - 如果包含
-，則提取起始和結束數字，並使用range()函式生成區間內的所有數字，將其新增到結果列表中。
Python 程式碼實作
def expanding_integer_intervals(intervals):
'''
將輸入的字串區間擴充套件為一個包含所有數字的列表。
'''
if intervals == '':
return []
result = []
intervals_list = intervals.split(',')
for interval in intervals_list:
if '-' not in interval:
# 如果區間只包含一個數字，直接轉換為整數並新增到結果列表
result.append(int(interval))
else:
# 如果區間包含一個範圍，提取起始和結束數字
start_end = interval.split('-')
start = int(start_end[0])
end = int(start_end[1])
# 使用 range() 函式生成區間內的所有數字，並新增到結果列表
result.extend(range(start, end + 1))
return result
內容解密：
- 輸入檢查：首先檢查輸入字串是否為空，如果是，則傳回一個空列表。
- 區間分割：使用
split(',')將輸入字串分割成多個區間。 - 區間處理：遍歷每個區間，如果不包含
-，則直接轉換為整數；如果包含-，則提取起始和結束數字，並生成區間內的所有數字。 - 結果合併：將所有數字新增到結果列表中，並最終傳回。
4.5 壓縮整數區間
給定一個數字列表，任務是將其壓縮為一個包含數字和區間的字串。例如，輸入列表 [1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 120, 121, 122, 123, 124, 568]，期望的輸出是 '1,7-16,120-124,568'。
演算法步驟
- 初始化變數
start和end為None。 - 遍歷輸入列表中的每個數字。
- 如果
start為None，則設定start和end為當前數字。 - 如果當前數字是
end + 1，則更新end為當前數字。 - 如果當前數字不是
end + 1，則將當前區間新增到結果列表中，並重置start和end。 - 最終傳回結果字串。
Python 程式碼實作
def collapse_integer_intervals(items):
'''
將輸入的數字列表壓縮為一個包含數字和區間的字串。
'''
if not items:
return ''
ranges = []
start = end = None
for item in items:
if start is None:
start = end = item
elif item == end + 1:
end = item
else:
if start == end:
ranges.append(str(start))
else:
ranges.append(f'{start}-{end}')
start = end = item
if start == end:
ranges.append(str(start))
else:
ranges.append(f'{start}-{end}')
return ','.join(ranges)
內容解密：
- 初始化：初始化
start和end為None，用於記錄當前區間的起始和結束。 - 遍歷處理：遍歷輸入列表，根據當前數字與
end的關係更新start和end，並在必要時將區間新增到結果列表。 - 結果格式化：最終將結果列表中的區間和數字格式化為字串，並傳回。
透過上述程式碼實作，我們可以有效地進行整數區間的擴充套件與壓縮操作。這些技術在資料處理和分析領域具有廣泛的應用前景。
左右手骰子的判斷與重複數字的評分機制
在探討骰子的左右手性質與數字的重複性評分時，我們將深入研究兩個不同的主題：首先是如何判斷一個骰子的角是否為左手性，其次是如何對具有重複數字的數字序列進行評分。
4.6 左手骰子的判斷
當我們觀察一個六面骰子時，會注意到每個角落都有三個可見的數字。從不同的方向（左或右）觀察骰子，會得到不同的檢視。例如，從左手方向（順時針）觀察某個角落的三個數字，若數字排列順序符合特定的左手性排列規則，則該骰子的該角落被視為左手性。
判斷左手骰子的演算法
要判斷一個給定的角落是否為左手性，我們可以預先定義所有可能的左手性排列，並檢查給定的數字是否符合其中之一。
Python 程式碼實作
def is_left_handed_dice(pips):
Left_Handed = [(1, 2, 3), (3, 1, 2), (2, 3, 1),
(1, 4, 2), (2, 1, 4), (6, 3, 2),
(4, 2, 1), (5, 6, 4), (4, 5, 6), (6, 4, 5),
(3, 6, 5), (5, 3, 6),
(6, 5, 3), (5, 4, 1), (1, 5, 4), (4, 1, 5),
(2, 4, 6), (6, 2, 4),
(4, 6, 2), (1, 3, 5), (5, 1, 3), (3, 5, 1),
(2, 6, 3), (3, 2, 6)]
if pips in Left_Handed:
return True
else:
return False
程式碼解析
is_left_handed_dice函式接受一個代表骰子角落三個數字的元組pips作為輸入。Left_Handed列表包含了所有可能的左手性排列。- 如果輸入的
pips存在於Left_Handed列表中，則函式傳回True，表示該角落是左手性的；否則，傳回False。
4.7 重複數字的評分
在人類記憶中，具有重複數字序列的數字更容易被記住。根據此，我們設計了一個評分系統，根據數字的重複次數給予相應的分數。
評分規則
- 當數字序列中有兩個重複數字時，得分為1。
- 當數字序列中有三個重複數字時，得分為10。
- 當數字序列中有四個重複數字時，得分為100，以此類別推。
- 如果數字序列以重複數字結尾，則得分翻倍。
評分演算法
- 將輸入的整數轉換為字串，以便逐位檢查。
- 初始化得分和計數器。
- 對每個數字進行檢查，如果與前一位數字相同，則增加計數；否則，根據計數給予相應得分並重置計數器。
- 最後，根據最後的計數給予相應得分。
Python 程式碼實作
def duplicate_digit_score(n):
score = 0
count = 1
prev_digit = None
for digit in str(n):
if digit == prev_digit:
count += 1
else:
if count > 1:
score += 10 ** (count - 2)
count = 1
prev_digit = digit
if count > 1:
score += 2 * (10 ** (count - 2))
return score
程式碼解析
duplicate_digit_score函式接受一個整數n作為輸入，並將其轉換為字串以便逐位檢查。score變數用於累積總得分，count變數用於記錄當前數字的重複次數。- 在遍歷每個數字時，如果當前數字與前一位相同，則增加
count；否則，根據count計算得分並重置count。 - 最後，根據最後的
count計算並新增最終得分，如果最後的數字是重複的，則得分翻倍。
透過這兩個主題的探討和相關Python程式碼的實作，我們展示瞭如何透過程式設計解決實際問題，包括判斷骰子的左右手性質和對具有重複數字的序列進行評分。這些例子不僅展示了Python在處理邏輯判斷和字串處理方面的能力，也體現了程式設計在解決現實世界問題中的應用價值。