量子力學與量子計算淺析

量子力學的非定域性是理解量子計算的關鍵。愛因斯坦與玻爾關於量子力學完備性的爭論，最終由貝爾不等式和阿斯佩克特實驗證實了量子力學的非定域性。這也為量子計算的發展奠定了基礎。隨著電晶體尺寸逼近量子尺度，量子穿隧效應成為半導體技術發展的瓶頸。量子計算利用量子位元的疊加態和糾纏態，實作了超越經典計算的可能性。邏輯閘是量子計算的基本操作單元，透過操控量子位元，可以執行複雜的量子演算法。理解量子力學的奇異特性，對於掌握量子計算的原理至關重要。

量子力學的奇妙世界：糾纏與EPR悖論

在物理學的發展歷程中，量子力學一直是科學家關注的焦點。從最初對光的波粒二象性的探討，到後來對原子結構的深入研究，科學家們不斷挑戰著傳統的思維模式。其中，由愛因斯坦、波多爾斯基和羅森提出的EPR悖論，更是引發了關於量子力學完備性的大討論。

糾纏與EPR悖論：遙遠的“鬼魅般的超距作用”

早期的科學研究認為，光表現出波動行為。然而，愛因斯坦證明瞭光同時具備粒子行為，即光子。同樣地，原子也表現出波粒二象性，根據測量工具的不同，它們既可以被視為粒子，也可以被視為波。玻爾將這種現象稱為互補性，即兩種條件都是獲得完整影像所必需的。

愛因斯坦和玻爾對於量子力學的理解存在著根本性的分歧。愛因斯坦認為，時空是所有物理現實的基礎，並希望將這一概念擴充套件到原子層面。另一方面，玻爾則認為時空是毫無意義的，現實是不可知的，我們所擁有的只是現象。

愛因斯坦對玻爾的挑戰

愛因斯坦與同事波多爾斯基和羅森共同發表了一篇論文，對量子力學是否提供了對物理現實的完整描述提出了質疑。他們提出了一個思想實驗，假設兩個從同一源發出的粒子具有共同的屬性，並且在分離後仍然保持著某種聯絡。透過測量第一個粒子，可以在不幹擾第二個粒子的情況下獲得有關第二個粒子的資訊。

根據量子力學的原理，對第一個粒子的測量將會影響第二個粒子，即使它們相隔很遠。這一思想實驗引發了一個悖論，違反了科學中的基本原理：因果律。愛因斯坦將這一原理稱為局域因果性或簡稱局域性。這個悖論後來被稱為愛因斯坦-波多爾斯基-羅森悖論，或EPR悖論。

貝爾不等式：驗證糾纏的實驗方法

1965年，物理學家約翰·貝爾提出了一組不等式，為驗證局域隱變數的存在提供了實驗證據。貝爾定理表明，任何具有局域隱變數的物理理論都無法重現量子力學的所有預測。

數學上，貝爾不等式由以下公式給出： [ C_h(a,c) - C_h(b,a) - C_h(b,c) \leq 1 ] 其中，$C_h(a,b)$ 表示在角度 $a$ 和 $b$ 下的相關性。

簡單理解貝爾定理

考慮光子的偏振（光在特定平面上的振盪）在三個不同角度下的情況，分別為 $A = 0$、$B = 120$ 和 $C = 240$ 度。如果現實獨立於觀察，那麼一個光子必定同時具有這三個角度下的確定偏振值，並且它們必須對應於表1-2中的八種情況。

| 計數 | A(0) | B(120) | C(240) | [AB] | [BC] | [AC] | 總和 | 平均值 | |

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| | 1 | a+ | B+ | C+ | 1(++) | 1(++) | 1(++) | 3 | 1 | | 2 | a+ | B+ | C- | 1(++) | 0 | 0 | 1 | 1/3 | | 3 | a+ | B- | C+ | 0 | 0 | 1(++) | 1 | 1/3 | | 4 | a+ | B- | C- | 0 | 1(–) | 0 | 1 | 1/3 | | 5 | a- | B+ | C+ | 0 | 1(++) | 0 | 1 | 1/3 | | 6 | a- | B+ | C- | 0 | 0 | 1(–) | 1 | 1/3 | | 7 | a- | B- | C+ | 1(–) | 0 | 0 | 1 | 1/3 | | 8 | a- | B- | C- | 1(–) | 1(–) | 1(–) | 3 | 1 |

如果局域因果性成立，那麼偏振的機率必須大於或等於 $1/3$。另一方面，如果玻爾的觀點正確，即現實由觀察行為定義，那麼偏振的機率將小於 $1/3$。貝爾不等式為實驗驗證提供了手段。

EPR悖論的終結：玻爾獲得最後的勝利

1982年，法國物理學家阿蘭·阿斯佩特進行了一個實驗，證明瞭玻爾的觀點是正確的。在阿斯佩特的實驗中，一束雷射照射在鈣源上，產生了一對向相反方向飛行的光子。這些光子透過偏振濾鏡後，被測量裝置記錄結果。最終，測量裝置連線到一個計數器，用於記錄多次互動的結果。

程式碼實作：驗證貝爾不等式

import numpy as np

def calculate_bell_inequality(angle_a, angle_b, angle_c):
    # 定義偏振相關性計算
    def polarization_correlation(angle1, angle2):
        # 這裡簡單模擬相關性計算
        return np.cos(np.radians(angle1 - angle2))

    # 計算C(a,c), C(b,a), C(b,c)
    c_ac = polarization_correlation(angle_a, angle_c)
    c_ba = polarization_correlation(angle_b, angle_a)
    c_bc = polarization_correlation(angle_b, angle_c)

    # 貝爾不等式
    bell_inequality = c_ac - c_ba - c_bc

    return bell_inequality

# 使用角度A=0, B=120, C=240進行計算
angle_a = 0
angle_b = 120
angle_c = 240

result = calculate_bell_inequality(angle_a, angle_b, angle_c)

print("貝爾不等式的計算結果:", result)

if result <= 1:
    print("貝爾不等式成立")
else:
    print("貝爾不等式不成立")

#### 內容解密：

這段程式碼實作了貝爾不等式的計算。首先定義了一個函式 calculate_bell_inequality，用於計算給定三個角度下的貝爾不等式值。在這個函式中，我們定義了一個輔助函式 polarization_correlation，用於計算兩個角度之間的偏振相關性。然後，我們計算了 $C(a,c)$、$C(b,a)$ 和 $C(b,c)$ 的值，並將它們代入貝爾不等式的公式中進行計算。最終，我們使用角度 $A=0$、$B=120$ 和 $C=240$ 度進行了計算，並檢查了貝爾不等式是否成立。

量子力學的奇妙世界：愛因斯坦與玻爾的世紀之爭

貝爾不等式與阿斯佩克特實驗

在探討量子力學的奧秘時，阿斯佩克特實驗是一個重要的里程碑。該實驗旨在驗證貝爾不等式，以解決愛因斯坦與玻爾之間關於量子力學基礎的爭論。貝爾不等式是一種數學表述，用於區分量子力學的預測與經典物理學的預測。

實驗設計與結果

阿斯佩克特實驗涉及測量一對糾纏光子的偏振特性。當兩個偏振濾鏡的校準方向相同時，阿斯佩克特觀察到光子對之間的相關性。他們要麼同時透過，要麼同時被阻擋。這種相關性支援了愛因斯坦的觀點，即光子的偏振特性在發射時就已經確定，而不是在測量時才確定。

另一方面，如果偏振濾鏡的設定不同，那麼我們應該預期一定比例的光子會透過或被阻擋。這就是貝爾不等式發揮作用的地方。如果透過或被阻擋的光子比例大於或等於預期的最小值，那麼貝爾不等式就得到滿足，光子的偏振特性在發射時就已經確定，這支援了愛因斯坦的觀點。

實驗結果與貝爾不等式

阿斯佩克特進行了多次測量，結果令人驚訝：測量結果違反了貝爾不等式，這意味著光子的偏振特性不可能在發射時就已經預先確定。量子力學是正確的！光子似乎在測量時共同選擇了相同的偏振特性。

超光速訊號的可能性

愛因斯坦的相對論指出，任何訊號都不能超過光速，這是宇宙中的極限速度。阿斯佩克特想進一步測試這種「超距作用」的可能性。在實驗的第二階段，他使用了兩個光學開關，將光子引導到不同的偏振濾鏡和測量裝置。

實驗設計與結果

光學開關以極快的速率（2奈秒）將光子引導到不同的方向。實驗兩端的距離為12公尺，光速需要40奈秒才能從一端到達另一端。如果沒有訊號能超過光速，那麼一個光子應該需要超過40奈秒的時間來告訴另一個光子應該選擇什麼偏振值。

結果與影響

令人難以置信的是，相關性仍然成立，這與量子力學的預測完全一致。這證明瞭兩個光子在測量時同時選擇了相同的偏振值，而且這種選擇的速度超過了光速。這種結果的影響令人震驚，因為它意味著無論光子之間的距離有多大（甚至是宇宙的一端到另一端），甚至跨越時間（從現在到過去或反之亦然），這種相關性都可能存在。

現實的奧秘與量子力學的挑戰

阿斯佩克特實驗證明瞭量子相關性的存在，如果我們要解釋這種現象，而不是簡單地接受它，那麼我們必須承認某些事件的發生速度超過了光速。物理學家約翰·貝爾曾經說過：「我們無法利用這一點，例如，我們無法傳送訊息或資訊的速度超過光速，這也是量子力學所預測的。看起來自然界正在對我們玩弄詭計：在幕後發生了一些非凡的事情，但我們無法利用它們。」

最終，玻爾和愛因斯坦之間的爭論沒有得到解決，但他們的遺產仍然存在。閱讀他們引人入勝的人生經歷，不禁讓人思考：如果玻爾看到阿斯佩克特實驗的結果證明他一直是正確的，他會有什麼感受？他是否會因為戰勝愛因斯坦而感到高興？這一切是否只是兩個自負的天才試圖證明誰是更好的科學家的鬥爭？

量子運算：扭曲現實的結構

自從真空管時代以來，半導體技術已經取得了長足的進步。現代電晶體的大小已經接近一顆分子，令人難以置信。在本章中，我們將探討量子運算的起源，從電晶體的命運開始。半導體製程和電晶體似乎正面臨著物理定律的挑戰。接下來，我們將探討量子電腦的基本元件：量子位元（qubit），包括疊加態、糾纏態等奇異效應，以及使用邏輯閘進行量子位元操控。此外，量子位元的設計是一個重要的課題，本章將介紹主要IT公司所開發的先進原型，以及各自的優缺點。

電晶體正面臨著物理定律的挑戰

你是否曾經好奇地拆開家中的電腦，看看裡面是由什麼構成的？基本上，它是一塊矽晶主機板，上面佈滿了各種電子元件，而中央則是作為CPU的黑色大方塊。根據你所擁有的電腦型別，可能會有多個CPU、圖形處理單元（GPU）、音效卡、網路卡等各種模組化元件。所有這些元件都是由數百萬個電晶體構成的，電晶體是許多電子裝置的基本構件。電晶體本質上是一個具有開/關位置的小開關，允許電子透過或不透過。這種特性被用來編碼0或1，這是所有電子裝置所使用的二進位制語言的基礎。

電晶體被組合起來建立邏輯閘，如表2-1所示。這些邏輯閘反過來產生基本的算術運算：加法、減法、乘法和除法。這些簡單的運算提供了執行強大的科學模擬、玩遊戲、加密資料、瀏覽網頁、傳送電子郵件等所需的所有能力。

表2-1：基本邏輯閘

圖2-1和圖2-2：半導體製程尺寸變化

圖2-1和圖2-2展示了1970年至2020年間半導體製程尺寸的變化。從1970年代的大約10微米，到1980年代末期的大約1微米，再到1990年代及以後進入奈米尺度（1奈米 = $10^{-9}$米）。我們正在談論接近分子大小的電晶體。到2020年，電晶體的大小將達到約5奈米。在這個尺度下，量子力學的奇異性質可能會對經典電腦造成嚴重影響。

五奈米電晶體：大問題

自1960年代以來，傳統電腦的運算能力呈指數級增長，同時變得越來越小。今天，電腦由數百萬個電晶體組成，但是一旦電晶體的大小接近原子的大小，量子力學的世界就會啟動，所有計算都將失效。

圖2-3：2020年電晶體大小（約5奈米）與水分子大小（0.275奈米）的比較

不幸的是，尺寸不可能無限制地縮小下去。有一個門檻將使經典電腦變得毫無用處，這個門檻被稱為量子尺度。

程式碼範例

# 定義一個簡單的邏輯閘函式
def logic_gate(gate_type, input_a, input_b=None):
    if gate_type == 'NOT':
        return int(not input_a)
    elif gate_type == 'AND':
        return int(input_a and input_b)
    elif gate_type == 'OR':
        return int(input_a or input_b)
    elif gate_type == 'XOR':
        return int(input_a != input_b)
    else:
        raise ValueError("未支援的邏輯閘型別")

# 使用範例
print(logic_gate('NOT', 0))   # 輸出：1
print(logic_gate('AND', 1, 1)) # 輸出：1
print(logic_gate('OR', 0, 1))  # 輸出：1
print(logic_gate('XOR', 1, 0)) # 輸出：1

邏輯閘函式實作內容解密：

此程式碼定義了一個名為logic_gate的函式，用於模擬基本的邏輯閘運算。它接受三個引數：gate_type表示邏輯閘的型別，input_a和input_b分別表示輸入值。根據gate_type的不同，函式執行相應的邏輯運算並傳回結果。其中，NOT閘只需要一個輸入，因此input_b在這種情況下被忽略。其他型別的邏輯閘則需要兩個輸入。

量子尺度與電晶體的未來

量子尺度對電晶體的影響絕非危言聳聽。在物理學中，量子尺度是指孤立系統中量子力學效應變得明顯的距離，通常小於100奈米或在極低溫的環境下。正式來說，量子尺度是作用量或角動量被量子化的距離。量子效應可能會影響微米尺度的電子元件，其中最典型的效應包括電子穿隧和干涉現象，正如單雙狹縫實驗所示。

電子穿隧效應

電子穿隧，也稱為量子穿隧，是指粒子能夠穿過在經典尺度下無法逾越的勢壘。這對電晶體的發展造成了挑戰。根據經典力學的能量守恆定律，粒子需要具備大於勢壘的能量（E > V）才能穿過勢壘，也就是說，粒子的動能必須大於勢壘的勢能。

圖示：電晶體尺寸與水分子大小的比較

此圖示顯示了電晶體尺寸隨著時間的推移不斷縮小，與水分子的大小進行了比較。

量子穿隧的數學描述

根據量子力學，當粒子的動能小於勢壘的勢能（E < V）時，仍然存在穿過勢壘的機率。這是由海森堡不確定性原理（HUP）所決定的。粒子的波函式會從正弦波形式轉變為指數衰減形式，其解如公式2.1所示。 [ Y = Ne^{-\frac{x}{b}} ] [ P = \exp\left(-\frac{4a\pi}{h}\sqrt{2m(V-E)}\right) ] 其中：

• ( \psi ) 是薛丁格方程的波函式。
• ( N ) 是歸一化常數。
• ( b = \sqrt{\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}} )。
• ( m ) 是粒子的品質。
• ( V ) 是勢壘的勢能，( E ) 是粒子的動能。
• ( h ) 是普朗克常數，( 6.626 \times 10^{-34} , \text{m}^2\text{kg/s} )。
• ( a ) 是勢壘的厚度。

根據Engel的研究，粒子穿過勢壘的機率( P ) 可以透過公式2.2計算。要發生量子穿隧效應，需要滿足以下條件：

• 勢壘的高度必須是有限的，且厚度應該很薄。
• 勢壘的勢能必須大於粒子的動能（E < V）。
• 粒子必須具有波動性質，這意味著量子穿隧效應只適用於奈米尺度的物體，如電子、光子等。

練習1：計算不同勢壘尺寸下的量子穿隧機率

使用Excel或其他工具，根據公式2.2計算電子的量子穿隧機率，假設：

• 電子的動能( E = 4.5 , \text{eV} )。
• 矩形勢壘的勢能( V = 5 , \text{eV} )。
• 使用半導體製造工藝中不同年份的勢壘尺寸（小於100奈米）。
• 普朗克常數( h = 6.626 \times 10^{-34} )，電子的品質( m = 9.1 \times 10^{-31} , \text{kg} )。

解答1

在Excel中輸入公式2.2，注意將( (V-E) ) 部分乘以( 1.6 \times 10^{-19} , \text{J/eV} )進行單位轉換。公式變為： [ \text{EXP}\left(\left(-\frac{4 \times D5 \times 3.14}{6.626E-34}\right) \times \sqrt{2 \times (9.1E-31) \times (5 - 4.5) \times (1.6E-19)}\right) ] 其中，D5儲存格包含勢壘尺寸，其他為常數。建立一個包含製造年份和勢壘尺寸的新表格，並將公式複製到相應的儲存格中，以計算不同年份和尺寸下的量子穿隧機率。

量子穿隧效應對半導體製造工藝的影響

隨著半導體技術的不斷進步，電晶體的尺寸越來越小，量子效應對其影響也越來越大。其中，量子穿隧效應是一個重要的現象，它會導致電子穿過勢壘，從而影響電晶體的正常運作。

量子穿隧機率的計算

根據 Engel 的量子穿隧機率公式，我們可以計算出不同年份和尺寸的半導體製造工藝下的量子穿隧機率。公式如下：

內容解密：

此公式用於計算電子穿過勢壘的機率，其中 $E$ 是電子的動能，$V$ 是勢能，$size$ 是勢壘的寬度。

static double EngelProbability(double size, double E, double V) {
    if (E > V) {
        throw new IllegalArgumentException("Potential energy (V) must be > Kinetic Energy (E)");
    }
    double delta = V - E;
    double p1 = ((-4 * size * Math.PI) / K_PLANK);
    double p2 = Math.sqrt(2 * K_ELECTRON_MASS * delta * K_EV);
    return Math.exp(p1 * p2);
}

內容解密：

• EngelProbability 函式計算量子穿隧機率。
• 檢查 $E > V$ 以確保動能小於勢能，否則丟擲異常。
• 計算 $\Delta = V - E$，表示勢能與動能的差值。
• 計算 $p1 = \frac{-4 \cdot size \cdot \pi}{h}$，其中 $h$ 是普朗克常數。
• 計算 $p2 = \sqrt{2 \cdot m \cdot \Delta \cdot eV}$，其中 $m$ 是電子品質，$eV$ 是電子伏特。
• 傳回 $e^{p1 \cdot p2}$，即量子穿隧機率。

計算結果

使用上述公式，我們可以計算出不同年份和尺寸下的量子穿隧機率。結果如下：

內容解密：

• 結果顯示，隨著勢壘尺寸的減小，量子穿隧機率逐漸增加。
• 在 2021 年的 5nm 製程中，量子穿隧機率已經達到 $1.931e-16$。
• 當勢壘尺寸小於 500pm 時，量子穿隧機率將達到不可接受的水平（約 2.68%）。

圖表分析

將上述資料繪製成圖表，可以更直觀地觀察到量子穿隧機率的變化趨勢。

@startuml
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title 圖表分析

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n1 --> n2
n2 --> n3
n3 --> n4
n4 --> n5
n5 --> n6

@enduml

此圖示說明瞭不同年份和尺寸下的量子穿隧機率變化趨勢。