在資料處理和演算法設計中，經常會遇到各種需要有效解決的計算問題。本文將探討幾個常見的演算法問題，包括計算支配者數量、三元組計數、圓盤交集計數，以及完美洗牌演算法和硬幣兌換問題。此外，還會詳細解析青蛙碰撞時間計算問題，並簡要介紹 Wythoff 陣列的定位問題。每個問題都將提供清晰的演算法步驟、Python 程式碼實作以及對程式碼的詳細解析，以幫助讀者理解演算法的核心思想和實作技巧。
計算支配者數量與三元組計數及圓盤交集問題
7.6 計算支配者數量
在給定的整數列表中，支配者定義為大於其後所有元素的元素。本文將介紹如何計算給定列表中的支配者數量。
演算法
計算支配者數量的演算法步驟如下：
- 將輸入列表反轉。
- 初始化最大數值為負無窮大，支配者計數為0。
- 遍歷反轉後的列表，如果當前數字大於目前最大數值，則更新最大數值並增加支配者計數。
- 傳回支配者計數。
程式碼實作
def count_dominators(items):
max_num = float('-inf')
dominator_count = 0
for num in reversed(items):
if num > max_num:
max_num = num
dominator_count += 1
return dominator_count
內容解密：
max_num = float('-inf')初始化最大數值為負無窮大，以確保列表中的任何數字都大於它。for num in reversed(items):反轉輸入列表並遍歷，這樣可以從列表末尾開始檢查每個元素是否大於其後的元素。if num > max_num:檢查當前元素是否大於目前的最大數值。如果是，則更新最大數值並增加支配者計數。dominator_count += 1增加支配者計數，因為當前元素是一個支配者。
7.7 三元組計數
三元組是指在列表中存在三個相同元素，且這三個元素的索引滿足等差數列的條件。本文將介紹如何計算給定列表中的三元組數量。
演算法
計算三元組數量的演算法步驟如下：
- 遍歷列表中的每個元素作為第一個元素。
- 對每個第一個元素，再遍歷其後的元素作為第二個元素。
- 計算第三個元素的索引，並檢查是否在列表範圍內以及是否與前兩個元素相同。
- 如果條件滿足，則增加三元組計數。
程式碼實作
def TroikaCounter(items):
TroikaCounter = 0
for i in range(len(items)):
for j in range(i + 1, len(items)):
k = 2 * j - i
if k <= len(items) - 1:
if items[i] == items[j] == items[k]:
TroikaCounter += 1
return TroikaCounter
內容解密：
for i in range(len(items)):和for j in range(i + 1, len(items)):使用雙重迴圈遍歷所有可能的第一個和第二個元素。k = 2 * j - i根據等差數列的條件計算第三個元素的索引。if k <= len(items) - 1:檢查計算出的第三個元素的索引是否在列表範圍內。if items[i] == items[j] == items[k]:檢查三個元素是否相同，如果是，則增加三元組計數。
7.8 圓盤交集計數
本文將介紹如何計算給定的一組圓盤中，有多少對圓盤相交。
演算法
計算圓盤交集的演算法步驟如下：
- 對圓盤按照其左右邊界進行排序。
- 初始化交集計數為0。
- 使用掃描線演算法遍歷排序後的圓盤，檢查每對圓盤是否相交。
- 如果一對圓盤相交，則增加交集計數。
程式碼實作
def Counting_Intersected_Disks(disks):
active_disks = sorted([(x - r, x + r, x, y, r) for x, y, r in disks])
count = 0
for i in range(len(active_disks) - 1):
j = i + 1
while j < len(active_disks) and active_disks[j][0] <= active_disks[i][1]:
dx = active_disks[i][2] - active_disks[j][2]
dy = active_disks[i][3] - active_disks[j][3]
r_sum = active_disks[i][4] + active_disks[j][4]
if dx ** 2 + dy ** 2 <= r_sum ** 2:
count += 1
j += 1
return count
內容解密：
active_disks = sorted([(x - r, x + r, x, y, r) for x, y, r in disks])對圓盤按照其左右邊界進行排序，方便使用掃描線演算法。while j < len(active_disks) and active_disks[j][0] <= active_disks[i][1]:使用掃描線演算法檢查與當前圓盤可能相交的圓盤。dx = active_disks[i][2] - active_disks[j][2]和dy = active_disks[i][3] - active_disks[j][3]計算兩個圓盤中心之間的距離。if dx ** 2 + dy ** 2 <= r_sum ** 2:檢查兩個圓盤是否相交，如果是，則增加交集計數。
8.1 完美洗牌演算法
完美洗牌（Perfect Riffle）是一種將一組具有偶數個元素的列表進行特定洗牌操作的方法。該操作將列表分成兩個大小相等的部分，然後透過交替取自兩個部分的元素來進行洗牌。根據第一個元素取自第一部分或第二部分，分別稱為「out-shuffle」和「in-shuffle」。
out-shuffle 和 in-shuffle 的運作方式
- out-shuffle：首先取第一個元素，接著是第二個部分的第一個元素，如此交替直到所有元素都被洗牌。
- in-shuffle：首先取第二個部分的第一個元素，接著是第一個部分的第一個元素，如此交替直到所有元素都被洗牌。
例如，給定列表 items = [19, 456, 3, 4, 5, 6, 64, 11]：
- out-shuffle 的結果為
[19, 5, 456, 6, 3, 64, 4, 11]。 - in-shuffle 的結果為
[5, 19, 6, 456, 64, 3, 11, 4]。
程式碼實作
def perfect_riffle(items, outin=True):
'''
outin=True: out-shuffle
outin=False: in-shuffle
'''
# 將列表分成兩個大小相等的部分
n = len(items) // 2
half1 = items[:n]
half2 = items[n:]
# 對其中一個部分進行迭代
for i in range(n):
# 進行 out-shuffle
if outin:
items[2*i] = half1[i]
items[2*i+1] = half2[i]
# 進行 in-shuffle
else:
items[2*i] = half2[i]
items[2*i+1] = half1[i]
return items
#### 內容解密：
len(items) // 2：計算列表的一半長度，用於分割列表。half1和half2：分別代表列表的前半部分和後半部分。for迴圈：遍歷列表的一半長度，進行元素的重新排列。if outin：根據outin的值決定是進行 out-shuffle 還是 in-shuffle。items[2*i]和items[2*i+1]：將half1和half2的元素交替填入原始列表中。
使用範例
items = [19, 456, 3, 4, 5, 6, 64, 11]
print(perfect_riffle(items, outin=True)) # out-shuffle: [19, 5, 456, 6, 3, 64, 4, 11]
print(perfect_riffle(items, outin=False)) # in-shuffle: [5, 19, 6, 456, 64, 3, 11, 4]
8.2 將金額兌換成小額硬幣
給定一個正整數金額和一個按遞減順序排列的硬幣面額陣列，目標是將金額兌換成總價值等於該金額的小額硬幣。保證陣列中的最後一個硬幣面額為1。例如，如果金額是583，硬幣面額是 [142, 73, 45, 17, 13, 7, 1]，則應將583兌換成 [142, 142, 142, 142, 13, 1, 1]。
程式碼實作
def exact_change(amount, denominations):
result = []
for denomination in denominations:
while amount >= denomination:
amount -= denomination
result.append(denomination)
return result
#### 內容解密：
for迴圈：遍歷每個硬幣面額。while迴圈：只要金額大於等於當前硬幣面額，就扣除該面額並將其加入結果列表。amount -= denomination：從總金額中減去當前硬幣面額。result.append(denomination)：將當前硬幣面額加入結果列表。
使用範例
amount = 583
denominations = [142, 73, 45, 17, 13, 7, 1]
print(exact_change(amount, denominations)) # [142, 142, 142, 142, 13, 1, 1]
雜項問題解析
本章節主要探討三個不同的演算法問題：將金額分解為較小的硬幣、限制清單中元素的出現頻率，以及計算兩隻青蛙在相同時間跳到相同位置的時間點。以下將詳細分析每個問題的演算法和實作。
將金額分解為較小的硬幣
問題描述
給定一個金額和一系列硬幣面額，目標是找出使用這些硬幣來表示給定金額的方法。
演算法步驟
- 初始化一個空清單
smallercoins用於儲存組成金額的較小硬幣。 - 遍歷
coins清單中的每個硬幣。 - 如果剩餘金額大於或等於當前硬幣面額，則從金額中減去硬幣面額並將其加入
smallercoins清單。 - 重複步驟3直到金額小於當前硬幣面額，然後轉到下一個硬幣。
- 傳回
smallercoins清單。
程式碼實作
def calculate_smaller_coins(amount, coins):
smallercoins = []
for coin in coins:
while amount >= coin:
smallercoins.append(coin)
amount -= coin
return smallercoins
內容解密：
- 此函式遍歷給定的硬幣清單，盡可能多地使用大面額硬幣來組成金額。
- 使用
while迴圈來持續減去當前硬幣面額直到金額小於該面額。 - 每個硬幣被加入
smallercoins清單，並從amount中減去相應的價值。 - 最終傳回組成金額的硬幣清單。
限制清單中元素的出現頻率
問題描述
給定一個清單和一個最大頻率 n，目標是傳回一個新清單，其中元素的出現頻率不超過 n。
演算法步驟
- 建立一個字典
frequency_dict來儲存清單中每個元素的頻率。 - 遍歷清單，統計每個元素的出現次數。
- 將超過最大頻率
n的元素頻率調整為n。 - 再次遍歷原始清單，根據調整後的頻率字典建立新清單。
- 傳回新清單。
程式碼實作
def calculate_item_frequency(items_list, max_frequency):
frequency_dict = dict.fromkeys(items_list, 0)
for item in items_list:
frequency_dict[item] += 1
for key in frequency_dict:
if frequency_dict[key] > max_frequency:
frequency_dict[key] = max_frequency
return frequency_dict
def items_below_max_frequency(items_list, max_frequency=1):
if max_frequency == 0:
return []
top_frequency_dict = calculate_item_frequency(items_list, max_frequency)
top_frequency_items = []
for item in items_list:
if top_frequency_dict[item] > 0:
top_frequency_items.append(item)
top_frequency_dict[item] -= 1
return top_frequency_items
內容解密：
calculate_item_frequency函式用於統計清單中每個元素的頻率，並將超過最大頻率的元素頻率調整為最大頻率。items_below_max_frequency函式根據調整後的頻率字典建立新清單，確保每個元素的出現頻率不超過最大頻率。- 如果最大頻率為0，則直接傳回空清單。
計算兩隻青蛙碰撞的時間
問題描述
給定兩隻青蛙的起始位置和移動向量，目標是計算兩隻青蛙在相同時間跳到相同位置的時間點。
演算法步驟
- 設定兩隻青蛙的位置和移動向量。
- 建立方程組來表示兩隻青蛙在時間
t時的位置。 - 解方程組以找到
t的值，使得兩隻青蛙的位置相同。 - 如果無解或解不合理（例如負時間），則傳回
None。
程式碼實作（部分省略）
def collision_time(frog1, frog2):
sx1, sy1, dx1, dy1 = frog1
sx2, sy2, dx2, dy2 = frog2
# 省略詳細實作，請參閱相關數學運算和條件判斷
# 傳回碰撞時間或None
內容解密：
- 此問題涉及線性方程組的求解，需要計算兩隻青蛙在 x 和 y 方向上的相對位置和速度差。
- 需要檢查是否存在合理的碰撞時間，並處理無解或負時間的情況。
青蛙碰撞時間計算演算法詳解
在探討兩個青蛙在二維空間中碰撞時間的計算方法時，我們需要考慮它們的初始位置和移動方向量。本文將詳細解析用於計算兩隻青蛙碰撞時間的演算法及其實作。
演算法概述
該演算法接受兩個引數，frog1 和 frog2，代表兩隻青蛙的位置和方向量。根據青蛙的移動方向，演算法應用特定的條件判斷來確定兩隻青蛙碰撞的時間。
Python 程式碼實作
def collision_time_of_frogs(frog1, frog2):
sx1, sy1, dx1, dy1 = frog1
sx2, sy2, dx2, dy2 = frog2
# 情況1：兩隻青蛙均靜止不動
if dx1 == dx2 == 0 and dy1 == dy2 == 0:
if sx1 == sx2 and sy1 == sy2:
return 0 # 起始位置相同，視為立即碰撞
else:
return None # 起始位置不同，不會碰撞
# 情況2：兩隻青蛙在x軸方向上靜止
if dx1 == dx2 == 0:
ty = (sy2 - sy1) / (dy1 - dy2)
if ty == int(ty) and ty > 0:
return int(ty) # y軸方向上碰撞時間為正整數
else:
return None # 不滿足碰撞條件
# 情況3：兩隻青蛙在y軸方向上靜止
if dy1 == dy2 == 0:
tx = (sx2 - sx1) / (dx1 - dx2)
if tx == int(tx) and tx > 0:
return int(tx) # x軸方向上碰撞時間為正整數
else:
return None # 不滿足碰撞條件
# 情況4：兩隻青蛙在x軸和y軸方向上均有移動
if dx1 != dx2:
tx = (sx2 - sx1) / (dx1 - dx2)
if dy1 != dy2:
ty = (sy2 - sy1) / (dy1 - dy2)
if tx == ty and tx == int(tx) and tx > 0:
return int(tx) # x軸和y軸方向上碰撞時間相同且為正整數
else:
return None # 不滿足碰撞條件
else:
if tx == int(tx) and tx > 0 and sy1 == sy2:
return int(tx) # x軸方向上碰撞時間為正整數且y軸起始位置相同
else:
return None # 不滿足碰撞條件
# 情況5：兩隻青蛙在x軸方向上移動速度相同
if dx1 == dx2:
if dy1 != dy2:
ty = (sy2 - sy1) / (dy1 - dy2)
if ty == int(ty) and ty > 0 and sx1 == sx2:
return int(ty) # y軸方向上碰撞時間為正整數且x軸起始位置相同
else:
return None # 不滿足碰撞條件
else:
return None # 兩隻青蛙運動狀態完全相同，不會碰撞
#### 內容解密：
1. **函式定義與引數解析**：`collision_time_of_frogs`函式接受兩個列表引數，分別代表兩隻青蛙的初始位置和移動速度向量。
2. **靜止狀態判斷**：首先檢查兩隻青蛙是否均靜止，若是，則根據其初始位置是否相同傳回0或None。
3. **單軸靜止判斷**：接著檢查是否有某一軸上的移動速度相同，若是，則計算另一軸上的碰撞時間。
4. **雙軸運動判斷**：當兩隻青蛙在兩個軸上均有不同的移動速度時，計算兩個軸上的碰撞時間並檢查是否一致。
5. **特殊情況處理**：針對特定條件下的運動狀態給出相應的處理邏輯。
Wythoff陣列定位問題簡介
Wythoff陣列是一種特殊的二維網格結構，其第一行對應於斐波那契數列。陣列中的每個元素根據特定的規則生成。本文簡要介紹了Wythoff陣列的定義和元素生成規則。
Wythoff陣列生成規則
- 第一行的元素即為斐波那契數列。
- 後續行的第一個元素是尚未出現在前幾行中的最小正整數。
- 後續行的第二個元素根據前一行的第一個和第二個元素以及當前行的第一個元素之間的差值決定，具體規則如公式(8.1)所示。
- 後續元素則依照斐波那契數列的方式生成，即每個元素為其前兩個元素之和。
程式碼與詳解（本段落不涉及程式碼實作）
此部分內容主要闡述了Wythoff陣列的基本概念和其元素的生成邏輯。具體的程式碼實作可根據給定的規則進行設計。