在棋盤遊戲開發中，設計高效的演算法至關重要。本文首先介紹一種根據廣度優先搜尋的演算法，用於計算棋盤上捕捉最多棋子的策略。接著，探討如何計算安全城堡問題中友方棋子的安全格子數量，並提供 Python 程式碼實作。最後，針對 Crag 骰子遊戲，分析其最高得分策略，並進一步設計適用於多重擲骰情況的最佳得分演算法。這些演算法的設計與實作，能有效提升遊戲 AI 的決策能力和玩家體驗。
國際象棋棋盤上捕捉最多棋子的演算法實作
在特定的棋盤遊戲中，如何有效地計算出在單一步驟中能夠捕捉最多對手棋子的策略是一項重要的技術挑戰。本文將探討一種根據廣度優先搜尋（BFS）的演算法，用於計算在給定棋盤狀態下能夠捕捉的最大棋子數量。
演算法核心概念
該演算法的核心思想是利用廣度優先搜尋來探索所有可能的移動步驟，並追蹤已經捕捉的棋子數量。演算法的輸入引數包括：
- 棋盤大小
n - 起始棋子的座標
x和y - 對手棋子的位置集合
pieces - 已經捕捉的棋子數量
removed
演算法步驟詳解
初始化：建立一個
visited集合來記錄已經存取過的狀態，並將初始狀態加入佇列中。同時，初始化current_max變數來儲存目前捕捉的最大棋子數量。廣度優先搜尋：當佇列不為空時，持續進行以下步驟：
- 從佇列中取出下一個狀態
(x, y, pieces, removed)。 - 更新
current_max為目前已捕捉棋子數量和removed中的最大值。
- 從佇列中取出下一個狀態
探索所有可能的跳躍方向：對於四個對角線方向，計算跳躍後的新位置和被跳過的棋子位置。
- 如果新位置超出棋盤範圍或該位置已有棋子，或被跳過的位置沒有棋子，則跳過該方向。
- 否則，建立一個新的棋子集合（移除被跳過的棋子），並檢查該狀態是否已被存取過。如果未被存取，則將其加入
visited集合和佇列中。
傳回結果：當佇列為空時，傳回
current_max，即在給定條件下能夠捕捉的最大棋子數量。
Python 程式碼實作
def enqueue(queue, item):
"""將專案加入佇列尾端"""
queue.append(item)
def dequeue(queue):
"""從佇列前端移除並傳回專案"""
return queue.pop(0)
def is_empty(queue):
"""檢查佇列是否為空"""
return len(queue) == 0
def Capturing_Max_Checkers(n, x, y, pieces, removed=0):
"""
計算在 n x n 棋盤上，從 (x, y) 位置出發，能夠捕捉的最大棋子數量。
:param n: 棋盤大小
:param x: 起始 x 座標
:param y: 起始 y 座標
:param pieces: 對手棋子的位置集合
:param removed: 已捕捉的棋子數量，預設為 0
:return: 能夠捕捉的最大棋子數量
"""
visited = set()
queue = [(x, y, pieces, removed)]
current_max = removed
while not is_empty(queue):
x, y, pieces, removed = dequeue(queue)
current_max = max(current_max, removed)
for dx, dy in [(1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1)]:
new_x, new_y = x + 2 * dx, y + 2 * dy
jump_x, jump_y = x + dx, y + dy
if not (0 <= new_x < n and 0 <= new_y < n):
continue
if (new_x, new_y) in pieces:
continue
if (jump_x, jump_y) not in pieces:
continue
new_pieces = pieces.copy()
new_pieces.remove((jump_x, jump_y))
if (new_x, new_y, tuple(new_pieces)) in visited:
continue
visited.add((new_x, new_y, tuple(new_pieces)))
enqueue(queue, (new_x, new_y, new_pieces, removed + 1))
return current_max
程式碼解析：
enqueue、dequeue和is_empty函式用於操作佇列，分別實作了加入專案、移除專案和檢查佇列是否為空的功能。Capturing_Max_Checkers函式是演算法的核心，負責執行廣度優先搜尋並傳回能夠捕捉的最大棋子數量。- 在 BFS 過程中，對於每個狀態，程式會檢查所有可能的對角線跳躍，並根據跳躍後的新狀態更新
current_max和佇列。
安全城堡問題與擲骰遊戲最高得分
6.12 安全城堡問題
在國際象棋中，車（Rook）是最強大的棋子之一，可以水平或垂直移動。假設在一個 $n \times n$ 的棋盤上，有一些友方和敵方車，如何計算友方車的安全格子數量？
演算法描述
- 初始化一個 $n \times n$ 的二維陣列
chess，用於表示棋盤，所有格子初始值為 0。 - 將友方車和敵方車的位置分別標記在
chess上，友方車標記為 1，敵方車標記為 -1。 - 遍歷棋盤上的每個格子，如果格子已被佔據（非 0），則跳過。
- 對於空閒格子，檢查其水平和垂直方向上是否有敵方車。如果沒有敵方車，則該格子被視為安全格子，計數器
safe_squares加 1。 - 傳回
safe_squares的值，即友方車的安全格子數量。
程式碼實作
def safe_rooks_with_friends(n, friend_rooks, enemy_rooks):
# 初始化棋盤
chess = [[0] * n for _ in range(n)]
# 在棋盤上放置車
for x, y in friend_rooks + enemy_rooks:
value = 1 if (x, y) in friend_rooks else -1
chess[x][y] = value
# 計算安全格子數量
safe_squares = 0
for i in range(n):
for j in range(n):
if chess[i][j] != 0:
continue # 跳過已被佔據的格子
# 檢查格子是否安全
is_safe = True
for k in range(j - 1, -1, -1): # 檢查左側
if chess[i][k] == -1:
is_safe = False
break
elif chess[i][k] == 1:
break
for k in range(j + 1, n): # 檢查右側
if chess[i][k] == -1:
is_safe = False
break
elif chess[i][k] == 1:
break
for k in range(i + 1, n): # 檢查下方
if chess[k][j] == -1:
is_safe = False
break
elif chess[k][j] == 1:
break
for k in range(i - 1, -1, -1): # 檢查上方
if chess[k][j] == -1:
is_safe = False
break
elif chess[k][j] == 1:
break
if is_safe:
safe_squares += 1
return safe_squares
詳細解說：
- 初始化棋盤：建立一個 $n \times n$ 的二維陣列，所有元素初始為 0，用於標記棋盤上的格子狀態。
- 放置車：在
chess上根據友方和敵方車的位置進行標記，友方車為 1，敵方車為 -1。 - 計算安全格子：遍歷每個格子，檢查其是否安全。如果格子為空且在水平和垂直方向上沒有敵方車，則計數器
safe_squares加 1。 - 傳回結果：最終傳回
safe_squares的值，表示友方車的安全格子數量。
6.13 擲骰遊戲最高得分
在 Crag 骰子遊戲中，玩家擲三個骰子來獲得分數。遊戲的目標是根據特定的規則計算最高可能的分數。
演算法描述
- 初始化兩個大小為 6 的陣列
index和Sum_of_each_Number。index用於記錄每個骰子點數出現的次數，而Sum_of_each_Number用於記錄每個點數的總和。 - 遍歷三個骰子的結果，更新
index和Sum_of_each_Number。 - 使用一系列 if-else 陳述式檢查各種組合規則，例如 Crag、Thirteen、Three-Of-A-Kind、Low Straight、High Straight、Odd Straight 和 Even Straight。
- 如果符合某個規則，則更新分數。如果沒有符合任何規則，則傳回出現次數最多的點數的總和。
程式碼實作
def highest_score_in_crag_score(dice):
index = [0] * 6
Sum_of_each_Number = [0] * 6
for item in dice:
index[item - 1] += 1
Sum_of_each_Number[item - 1] += item
Score = 0
# Crag
if (index[0] == 1 and index[5] == 2) or (index[2] == 1 and index[4] == 2) or (index[4] == 1 and index[3] == 2) or (index[0] == 2 and index[5] == 1) or (index[2] == 2 and index[4] == 1) or (index[4] == 2 and index[3] == 1):
Score = 50
# Three-Of-A-Kind
elif max(index) == 3:
Score = 25
# Thirteen
elif sum(dice) == 13:
Score = 26
# Low Straight, High Straight, Odd Straight, Even Straight
elif sorted(dice) == [1, 2, 3] or sorted(dice) == [4, 5, 6] or sorted(dice) == [1, 3, 5] or sorted(dice) == [2, 4, 6]:
Score = 20
# 如果沒有符合任何規則，則傳回出現次數最多的點數的總和
else:
max_index = index.index(max(index))
Score = Sum_of_each_Number[max_index]
return Score
詳細解說：
- 初始化陣列：建立兩個大小為6的陣列，分別用於記錄每個骰子點數的出現次數和總和。
- 更新陣列：根據三個骰子的結果更新這兩個陣列。
- 檢查規則：使用 if-else 陳述式檢查各種組合規則，並根據規則更新分數。
- 傳回結果：如果沒有符合任何規則，則傳回出現次數最多的點數的總和。最終傳回最高可能的分數。
最佳克拉格得分的多重擲骰最佳化演算法
在最佳克拉格得分的遊戲中，針對多重擲骰的情況，需要設計一個演算法來計算最高可能的得分。本文將詳細介紹如何實作這一目標。
演算法核心概念
- 生成所有可能的組合：首先，需要根據給定的多次擲骰結果生成所有可能的排列組合。
- 檢查每個組合的分數：對每個生成的組合，檢查其是否符合特定的規則（如 Crag、Three-Of-A-Kind 等），並計算相應的分數。
- 類別使用追蹤：使用一個列表（
category_is_used）來記錄哪些類別已經被使用過，以確保每個類別在同一個組閤中只被使用一次。 - 計算最高分數：對每個組合計算總分，並傳回所有組閤中的最高分數。
Python 實作程式碼
def generate_combinations(rolls, n):
if n == 0:
return [[]]
else:
combinations = []
for i in range(len(rolls)):
sub_combinations = generate_combinations(rolls, n-1)
for combination in sub_combinations:
if i not in combination:
combinations.append([i] + combination)
return combinations
def Optimal_Crag_Score_with_Multiple_Rolls(rolls):
possibilities = generate_combinations(rolls, len(rolls))
unique_possibilities = []
for roll in possibilities:
if set(roll) == {i for i in range(len(rolls))}:
unique_possibilities.append(roll)
result = []
for possibility in unique_possibilities:
category_is_used = [False] * 13
temp_roll = [rolls[i] for i in possibility]
points = []
for dice in temp_roll:
index = [0] * 6
Sum_of_each_Number = [0] * 6
Desired_Score = 0
for item in range(3):
index[dice[item] - 1] = dice.count(dice[item])
Sum_of_each_Number[dice[item] - 1] = dice.count(dice[item]) * dice[item]
# 檢查是否符合特定類別並賦予相應分數
if ((index[0] == 1 and index[5] == 2) or (index[2] == 1 and index[4] == 2) or (index[4] == 1 and index[3] == 2)) and not category_is_used[0]:
Desired_Score = 50
category_is_used[0] = True
elif ((index[2] == 1 and index[3] == 1 and index[5] == 1) or (index[1] == 1 and index[4] == 1 and index[5] == 1)) and not category_is_used[1]:
Desired_Score = 26
category_is_used[1] = True
# 其他規則檢查...
else:
temp_index = 0
for i in range(6):
if Desired_Score < Sum_of_each_Number[i] and not category_is_used[6+i]:
temp_index = i
Desired_Score = Sum_of_each_Number[i]
category_is_used[6+temp_index] = True
points.append(Desired_Score)
result.append(sum(points))
try:
return max(result)
except:
return 0
程式碼解析：
generate_combinations函式：用於生成所有可能的擲骰結果組合。Optimal_Crag_Score_with_Multiple_Rolls函式：計算給定多次擲骰結果下的最佳克拉格得分。- 類別使用檢查：確保每個類別在同一個組閤中只被使用一次，以避免重複計分。
- 分數計算邏輯：根據擲骰結果檢查是否符合特定規則，並賦予相應的分數。若不符合任何規則，則取點數總和的最大值。
程式碼關鍵點說明
generate_combinations生成排列組合：此函式遞迴地生成所有可能的擲骰結果排列。category_is_used追蹤類別使用狀態：確保每個類別規則在同一個組閤中只被應用一次。- 多重擲骰結果處理：對每個擲骰結果檢查其是否符合特定規則，並計算相應的分數。